MODÜL 1 / BÖLÜM 4: ARDIŞIK SAYILAR VE GAUSS
"Matematiğin Ritmi: Düzenli Artan Sayıların Sırrı"
1. Ardışık Sayıların Dili
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. Sorularda harf verirken aradaki farka (artış miktarına) dikkat etmeliyiz.
| Tür | Artış Miktarı | Matematiksel Yazılım |
|---|---|---|
| Ardışık Tam Sayılar | +1 | n, n+1, n+2, ... |
| Ardışık ÇİFT Sayılar | +2 | 2n, 2n+2, 2n+4, ... |
| Ardışık TEK Sayılar | +2 (DİKKAT!) | 2n+1, 2n+3, 2n+5, ... |
| 5'in Katı Ardışıklar | +5 | 5n, 5n+5, 5n+10, ... |
Öğrencilerin en sık yaptığı hata: Ardışık TEK sayıların 1'er 1'er arttığını sanmaktır. Hayır!
1, 3, 5, 7... Aradaki fark 2'dir. (Tıpkı çift sayılar gibi).
2. Altın Formüller (İsviçre Çakısı)
Ezberlemeniz gereken yüzlerce formül yok. ÖSYM sorularının %90'ı şu iki formülle çözülür:
Unutma: Sondaki "+1" çıkarılan ilk terimin kendisidir. Eklemezsen eksik bulursun!
Eğer sayı dizisi 1'den başlayıp 1'er 1'er artıyorsa (1+2+3+...+n):
n . (n + 1) / 2ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: 4 + 7 + 10 + ... + 61 toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Verileri Belirle
İlk Terim = 4, Son Terim = 61, Artış Miktarı = 3
Adım 2: Terim Sayısını Bul (TS)
TS = [(61 - 4) / 3] + 1
TS = [57 / 3] + 1 = 19 + 1 = 20 terim var.
Adım 3: Toplamı Bul
Toplam = [(Son + İlk) / 2] x TS
Toplam = [(61 + 4) / 2] x 20
Toplam = (65 / 2) x 20 (20 ile 2 sadeleşir: 10 kalır)
Toplam = 65 x 10 = 650
SORU 2: Ardışık 5 çift sayının toplamı 140'tır.
Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
YOL 1: Denklem Kurarak (Uzun Yol)
En küçüğe x diyelim. Çift dediği için 2'şer artar.
x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 140
5x + 20 = 140 => 5x = 120 => x = 24 (En küçük).
En büyük = x + 8 = 24 + 8 = 32.
YOL 2: Ortanca Terim Yöntemi (Pratik Yol 🚀)
Sayı adedi TEK sayı ise (burada 5 tane), toplamı sayı adedine bölersen tam ortadaki sayıyı bulursun.
Ortanca = 140 / 5 = 28.
Dizi şöyle görünür (Sola küçül, Sağa büyü):
24, 26, 28, 30, 32
En büyük sayı 32'dir.
Cevap: 32
SORU 3: A sayısı aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A = 3.4 + 4.5 + 5.6 + ... + 20.21
A sayısını oluşturan her bir terimin birinci çarpanı 1 artırılırsa A sayısı ne kadar artar?
Çözümü Göster
A sayısını hesaplamak çok zordur. Biz sadece "Değişim"e odaklanacağız.
Eski Terim: 3.4
Yeni Terim: (3+1).4 = 4.4
Fark: 4.4 - 3.4 = 4 (Artış miktarı ikinci çarpana eşittir!)
1. Terimdeki artış: 4
2. Terimdeki artış: 5 (Çünkü 4.5 iken 5.5 oldu)
...
Son Terimdeki artış: 21 (Çünkü 20.21 iken 21.21 oldu)
Bizden istenen toplam artış: 4 + 5 + 6 + ... + 21
İlk=4, Son=21, Artış=1
TS = (21 - 4) + 1 = 18
Toplam = [(21+4)/2] x 18 = (25/2) x 18 = 25 x 9 = 225
Cevap: Sayı 225 artar.
SORU 4: 1'den n'ye kadar olan ardışık sayıların toplamı A, 10'dan n'ye kadar olan ardışık sayıların toplamı B dir.
A + B = 375 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz:
A = 1 + 2 + ... + 9 + 10 + ... + n
B = 10 + ... + n
A'nın içinde B aynen vardır. A'nın B'den farkı, B'de olmayan baştaki kısımdır.
A - B = 1 + 2 + 3 + ... + 9
Gauss Formülü (n.(n+1)/2): 9 . 10 / 2 = 45
Yani: A - B = 45
Bize verilen: A + B = 375
Bizim bulduğumuz: A - B = 45
----------------------------- (Taraf tarafa topla)
2A = 420
A = 210
Cevap: A sayısı 210'dur.
(Meraklısına: A=210 ise n.(n+1)/2=210 denkleminden n=20 çıkar).
MODÜL 1 / BÖLÜM 4: ARDIŞIK SAYILAR VE GAUSS
"Matematiğin Ritmi: Düzenli Artan Sayıların Sırrı"
1. Ardışık Sayıların Dili
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. Sorularda harf verirken aradaki farka (artış miktarına) dikkat etmeliyiz.
| Tür | Artış Miktarı | Matematiksel Yazılım |
|---|---|---|
| Ardışık Tam Sayılar | +1 | n, n+1, n+2, ... |
| Ardışık ÇİFT Sayılar | +2 | 2n, 2n+2, 2n+4, ... |
| Ardışık TEK Sayılar | +2 (DİKKAT!) | 2n+1, 2n+3, 2n+5, ... |
| 5'in Katı Ardışıklar | +5 | 5n, 5n+5, 5n+10, ... |
Öğrencilerin en sık yaptığı hata: Ardışık TEK sayıların 1'er 1'er arttığını sanmaktır. Hayır!
1, 3, 5, 7... Aradaki fark 2'dir. (Tıpkı çift sayılar gibi).
2. Altın Formüller (İsviçre Çakısı)
Ezberlemeniz gereken yüzlerce formül yok. ÖSYM sorularının %90'ı şu iki formülle çözülür:
Unutma: Sondaki "+1" çıkarılan ilk terimin kendisidir. Eklemezsen eksik bulursun!
Eğer sayı dizisi 1'den başlayıp 1'er 1'er artıyorsa (1+2+3+...+n):
n . (n + 1) / 2ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: 4 + 7 + 10 + ... + 61 toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Verileri Belirle
İlk Terim = 4, Son Terim = 61, Artış Miktarı = 3
Adım 2: Terim Sayısını Bul (TS)
TS = [(61 - 4) / 3] + 1
TS = [57 / 3] + 1 = 19 + 1 = 20 terim var.
Adım 3: Toplamı Bul
Toplam = [(Son + İlk) / 2] x TS
Toplam = [(61 + 4) / 2] x 20
Toplam = (65 / 2) x 20 (20 ile 2 sadeleşir: 10 kalır)
Toplam = 65 x 10 = 650
SORU 2: Ardışık 5 çift sayının toplamı 140'tır.
Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
YOL 1: Denklem Kurarak (Uzun Yol)
En küçüğe x diyelim. Çift dediği için 2'şer artar.
x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 140
5x + 20 = 140 => 5x = 120 => x = 24 (En küçük).
En büyük = x + 8 = 24 + 8 = 32.
YOL 2: Ortanca Terim Yöntemi (Pratik Yol 🚀)
Sayı adedi TEK sayı ise (burada 5 tane), toplamı sayı adedine bölersen tam ortadaki sayıyı bulursun.
Ortanca = 140 / 5 = 28.
Dizi şöyle görünür (Sola küçül, Sağa büyü):
24, 26, 28, 30, 32
En büyük sayı 32'dir.
Cevap: 32
SORU 3: A sayısı aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A = 3.4 + 4.5 + 5.6 + ... + 20.21
A sayısını oluşturan her bir terimin birinci çarpanı 1 artırılırsa A sayısı ne kadar artar?
Çözümü Göster
A sayısını hesaplamak çok zordur. Biz sadece "Değişim"e odaklanacağız.
Eski Terim: 3.4
Yeni Terim: (3+1).4 = 4.4
Fark: 4.4 - 3.4 = 4 (Artış miktarı ikinci çarpana eşittir!)
1. Terimdeki artış: 4
2. Terimdeki artış: 5 (Çünkü 4.5 iken 5.5 oldu)
...
Son Terimdeki artış: 21 (Çünkü 20.21 iken 21.21 oldu)
Bizden istenen toplam artış: 4 + 5 + 6 + ... + 21
İlk=4, Son=21, Artış=1
TS = (21 - 4) + 1 = 18
Toplam = [(21+4)/2] x 18 = (25/2) x 18 = 25 x 9 = 225
Cevap: Sayı 225 artar.
SORU 4: 1'den n'ye kadar olan ardışık sayıların toplamı A, 10'dan n'ye kadar olan ardışık sayıların toplamı B dir.
A + B = 375 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz:
A = 1 + 2 + ... + 9 + 10 + ... + n
B = 10 + ... + n
A'nın içinde B aynen vardır. A'nın B'den farkı, B'de olmayan baştaki kısımdır.
A - B = 1 + 2 + 3 + ... + 9
Gauss Formülü (n.(n+1)/2): 9 . 10 / 2 = 45
Yani: A - B = 45
Bize verilen: A + B = 375
Bizim bulduğumuz: A - B = 45
----------------------------- (Taraf tarafa topla)
2A = 420
A = 210
Cevap: A sayısı 210'dur.
(Meraklısına: A=210 ise n.(n+1)/2=210 denkleminden n=20 çıkar).