MODÜL 4: BÖLÜM 1 - ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
"Sayıların DNA'sını Çözmek"
Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara Asal Sayı denir.
En çok kullanacaklarımız: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
⚠️ DİKKAT: "1" asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir (ve tek çift asal sayıdır).
1. Yöntem: Bölen Listesi (Algoritması)
En sık kullanılan ve en pratik yöntemdir. Sayının yanına dikey bir çizgi çekilir ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölme işlemi yapılır. Bölüm 1 olana kadar devam edilir.
[Image of division method for prime factorization]Sonuç: Çizginin sağındaki sayılar çarpılır.
180 = 2² . 3² . 5¹
Bulduğumuz asal çarpanları üslü biçimde yazarız.
- 2'den 2 tane var → 2²
- 3'ten 2 tane var → 3²
- 5'ten 1 tane var → 5¹
Bu yazıma sayının Asal Çarpanlarına Ayrılmış Hali (Kanonik Form) denir.
2. Yöntem: Asal Çarpan Ağacı
Sayıyı iki dal şeklinde çarpanlarına ayırırız. Dalların ucunda asal sayı kalana kadar ayırmaya devam ederiz. Genellikle görselleştirme için kullanılır.
Dalların en ucundaki (yuvarlak içine alınabilecek) sayılar toplanır:
72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3²
Bölme işlemine her zaman en küçük asaldan (2'den) başlamak zorunda değilsiniz. Ancak karışıklığı önlemek ve sistematik gitmek için küçükten büyüğe (2 -> 3 -> 5 -> 7) gitmek en güvenli yoldur.
Eğer bir sayının 2, 3 ve 5'e bölünmediğini görüyorsanız, hemen pes etmeyin! 7, 11, 13, 17 veya 19'u deneyin.
3. ÖSYM Tarzı Pekiştirme Soruları
360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2a . 3b . 5c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5
360 = 2³ . 3² . 5¹
Buradan eşleştirme yaparsak:
- a = 3 (2'nin kuvveti)
- b = 2 (3'ün kuvveti)
- c = 1 (5'in kuvveti)
Sonuç: a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6
A, B ve C birbirinden farklı asal sayılardır.
K = A³ . B . C²
şeklinde asal çarpanlarına ayrılan en küçük K doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: K sayısının en küçük olması için, kuvveti (üssü) en büyük olan tabana, en küçük asal sayıyı vermeliyiz.
- En büyük üs 3 (A'nın üzerinde). O halde A en küçük asal sayı olmalı: A = 2.
- Sonraki en büyük üs 2 (C'nin üzerinde). O halde C sonraki en küçük asal olmalı: C = 3.
- Geriye B kaldı (üssü 1). B'ye de sıradaki asal sayı gelir: B = 5.
Hesaplama:
K = 2³ . 5¹ . 3²
K = 8 . 5 . 9
K = 40 . 9 = 360
Cevap: 360
Aşağıdaki bölme algoritmasında her harf farklı bir sayıyı göstermektedir.
B | 2
C | 3
D | 5
1 |
Buna göre A sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Bu tip sorularda en alttan (1'den) başlayarak yukarı doğru çarparak çıkarız.
- D sayısını 5'e bölmüşüz, 1 bulmuşuz. Demek ki D = 1 x 5 = 5.
- C sayısını 3'e bölmüşüz, D (5) bulmuşuz. Demek ki C = 5 x 3 = 15.
- B sayısını 2'ye bölmüşüz, C (15) bulmuşuz. Demek ki B = 15 x 2 = 30.
- A sayısını 2'ye bölmüşüz, B (30) bulmuşuz. Demek ki A = 30 x 2 = 60.
Pratik Yol: Çizginin sağındaki tüm asal sayıları çarparsanız en üstteki sayıyı (A) bulursunuz.
A = 2 . 2 . 3 . 5 = 60.
Cevap: 60
MODÜL 4: BÖLÜM 1 - ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
"Sayıların DNA'sını Çözmek"
Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara Asal Sayı denir.
En çok kullanacaklarımız: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
⚠️ DİKKAT: "1" asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir (ve tek çift asal sayıdır).
1. Yöntem: Bölen Listesi (Algoritması)
En sık kullanılan ve en pratik yöntemdir. Sayının yanına dikey bir çizgi çekilir ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölme işlemi yapılır. Bölüm 1 olana kadar devam edilir.
[Image of division method for prime factorization]Sonuç: Çizginin sağındaki sayılar çarpılır.
180 = 2² . 3² . 5¹
Bulduğumuz asal çarpanları üslü biçimde yazarız.
- 2'den 2 tane var → 2²
- 3'ten 2 tane var → 3²
- 5'ten 1 tane var → 5¹
Bu yazıma sayının Asal Çarpanlarına Ayrılmış Hali (Kanonik Form) denir.
2. Yöntem: Asal Çarpan Ağacı
Sayıyı iki dal şeklinde çarpanlarına ayırırız. Dalların ucunda asal sayı kalana kadar ayırmaya devam ederiz. Genellikle görselleştirme için kullanılır.
Dalların en ucundaki (yuvarlak içine alınabilecek) sayılar toplanır:
72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3²
Bölme işlemine her zaman en küçük asaldan (2'den) başlamak zorunda değilsiniz. Ancak karışıklığı önlemek ve sistematik gitmek için küçükten büyüğe (2 -> 3 -> 5 -> 7) gitmek en güvenli yoldur.
Eğer bir sayının 2, 3 ve 5'e bölünmediğini görüyorsanız, hemen pes etmeyin! 7, 11, 13, 17 veya 19'u deneyin.
3. ÖSYM Tarzı Pekiştirme Soruları
360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali 2a . 3b . 5c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5
360 = 2³ . 3² . 5¹
Buradan eşleştirme yaparsak:
- a = 3 (2'nin kuvveti)
- b = 2 (3'ün kuvveti)
- c = 1 (5'in kuvveti)
Sonuç: a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6
A, B ve C birbirinden farklı asal sayılardır.
K = A³ . B . C²
şeklinde asal çarpanlarına ayrılan en küçük K doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: K sayısının en küçük olması için, kuvveti (üssü) en büyük olan tabana, en küçük asal sayıyı vermeliyiz.
- En büyük üs 3 (A'nın üzerinde). O halde A en küçük asal sayı olmalı: A = 2.
- Sonraki en büyük üs 2 (C'nin üzerinde). O halde C sonraki en küçük asal olmalı: C = 3.
- Geriye B kaldı (üssü 1). B'ye de sıradaki asal sayı gelir: B = 5.
Hesaplama:
K = 2³ . 5¹ . 3²
K = 8 . 5 . 9
K = 40 . 9 = 360
Cevap: 360
Aşağıdaki bölme algoritmasında her harf farklı bir sayıyı göstermektedir.
B | 2
C | 3
D | 5
1 |
Buna göre A sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Bu tip sorularda en alttan (1'den) başlayarak yukarı doğru çarparak çıkarız.
- D sayısını 5'e bölmüşüz, 1 bulmuşuz. Demek ki D = 1 x 5 = 5.
- C sayısını 3'e bölmüşüz, D (5) bulmuşuz. Demek ki C = 5 x 3 = 15.
- B sayısını 2'ye bölmüşüz, C (15) bulmuşuz. Demek ki B = 15 x 2 = 30.
- A sayısını 2'ye bölmüşüz, B (30) bulmuşuz. Demek ki A = 30 x 2 = 60.
Pratik Yol: Çizginin sağındaki tüm asal sayıları çarparsanız en üstteki sayıyı (A) bulursunuz.
A = 2 . 2 . 3 . 5 = 60.
Cevap: 60