MODÜL 1 / BÖLÜM 5: ASAL SAYILAR VE ARALARINDA ASALLIK
"Matematiğin Yapı Taşları: Bölünemeyenlerin Dünyası"
1. Asal Sayı Nedir?
Asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
- EN KÜÇÜK asal sayı 2'dir. (1 asal değildir!)
- ÇİFT olan tek asal sayı 2'dir. (2 hariç tüm asallar TEK sayıdır).
- Soruda "x ve y asal sayı" ve "x + y = Tek Sayı" diyorsa; Sayılardan biri KESİNLİKLE 2'dir. (Çünkü Tek+Tek=Çift olurdu. Tek olması için biri Çift(2) olmalı).
2. Aralarında Asallık (Ortaklık Yok!)
İki ya da daha fazla sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.
Örnek: 8 ve 15.
8 Asal mı? Hayır (2'ye bölünür).
15 Asal mı? Hayır (3'e bölünür).
Aralarında Asal mı? EVET! Çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir.
Aralarında Asallık Kuralları:
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. (8 ve 9, 20 ve 21)
- Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır. (15 ve 17)
- 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: x, y ve z asal sayılardır.
x = 13 . (y - z)
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: x bir asal sayı ise çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir.
x'in çarpanlarından biri 13, diğeri (y-z) dir.
13 bir asal sayıdır. Demek ki x, 13'ün ta kendisidir. x = 13.
Bu durumda diğer çarpan mecburen 1 olmalı: y - z = 1.
Farkın tek sayı (1) olması için biri çift, biri tek olmalı.
Çift olan tek asal sayı 2'dir. O halde z = 2, y = 3 olur.
Sonuç: x+y+z = 13 + 3 + 2 = 18
SORU 2: a ve b asal sayılardır.
a + b = 99
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz: İki asal sayının toplamı 99 (TEK SAYI) olmuş.
Tek + Tek = Çift
Çift + Çift = Çift
Tek + Çift = Tek
Dünya üzerinde çift olan sadece bir tane asal sayı vardır: 2.
2 + b = 99 => b = 97.
97 asal mı? Evet. (Şart sağlandı).
Cevap: a . b = 2 . 97 = 194
SORU 3: x ve y pozitif tam sayılardır.
(2x - 1) ve (3y + 1) sayıları aralarında asaldır.
(2x - 1) / (3y + 1) = 36 / 48
olduğuna göre x + y kaçtır?
Çözümü Göster
⚠️ BÜYÜK TUZAK: Hemen "2x-1 = 36" DİYEMEZSİN!
Çünkü 36 ve 48 aralarında asal değildir (İkisi de 12'ye bölünür). Kurala aykırı.
Kesri en sade haline getirmelisin.
36 / 48 = (Her ikisini 12'ye böl) -> 3 / 4
Artık 3 ve 4 aralarında asaldır (Ortak bölenleri yok). Şimdi karşılıklı eşitleyebiliriz.
2x - 1 = 3 => 2x = 4 => x = 2
3y + 1 = 4 => 3y = 3 => y = 1
Cevap: x + y = 2 + 1 = 3
SORU 4: x ve y doğal sayılardır.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: İki Kare Farkını Aç
x² - y² = (x - y) . (x + y) = 17
17 asal bir sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve 17'dir.
Doğal sayılar oldukları için (x+y) toplamı, (x-y) farkından daima büyüktür.
Büyük olan çarpan: x + y = 17
Küçük olan çarpan: x - y = 1
(Taraf tarafa topla)
2x = 18 => x = 9
(yerine koy): 9 + y = 17 => y = 8
x² + y² = 9² + 8²
81 + 64 = 145
MODÜL 1 / BÖLÜM 5: ASAL SAYILAR VE ARALARINDA ASALLIK
"Matematiğin Yapı Taşları: Bölünemeyenlerin Dünyası"
1. Asal Sayı Nedir?
Asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
- EN KÜÇÜK asal sayı 2'dir. (1 asal değildir!)
- ÇİFT olan tek asal sayı 2'dir. (2 hariç tüm asallar TEK sayıdır).
- Soruda "x ve y asal sayı" ve "x + y = Tek Sayı" diyorsa; Sayılardan biri KESİNLİKLE 2'dir. (Çünkü Tek+Tek=Çift olurdu. Tek olması için biri Çift(2) olmalı).
2. Aralarında Asallık (Ortaklık Yok!)
İki ya da daha fazla sayının 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.
Örnek: 8 ve 15.
8 Asal mı? Hayır (2'ye bölünür).
15 Asal mı? Hayır (3'e bölünür).
Aralarında Asal mı? EVET! Çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir.
Aralarında Asallık Kuralları:
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. (8 ve 9, 20 ve 21)
- Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır. (15 ve 17)
- 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: x, y ve z asal sayılardır.
x = 13 . (y - z)
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: x bir asal sayı ise çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir.
x'in çarpanlarından biri 13, diğeri (y-z) dir.
13 bir asal sayıdır. Demek ki x, 13'ün ta kendisidir. x = 13.
Bu durumda diğer çarpan mecburen 1 olmalı: y - z = 1.
Farkın tek sayı (1) olması için biri çift, biri tek olmalı.
Çift olan tek asal sayı 2'dir. O halde z = 2, y = 3 olur.
Sonuç: x+y+z = 13 + 3 + 2 = 18
SORU 2: a ve b asal sayılardır.
a + b = 99
olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz: İki asal sayının toplamı 99 (TEK SAYI) olmuş.
Tek + Tek = Çift
Çift + Çift = Çift
Tek + Çift = Tek
Dünya üzerinde çift olan sadece bir tane asal sayı vardır: 2.
2 + b = 99 => b = 97.
97 asal mı? Evet. (Şart sağlandı).
Cevap: a . b = 2 . 97 = 194
SORU 3: x ve y pozitif tam sayılardır.
(2x - 1) ve (3y + 1) sayıları aralarında asaldır.
(2x - 1) / (3y + 1) = 36 / 48
olduğuna göre x + y kaçtır?
Çözümü Göster
⚠️ BÜYÜK TUZAK: Hemen "2x-1 = 36" DİYEMEZSİN!
Çünkü 36 ve 48 aralarında asal değildir (İkisi de 12'ye bölünür). Kurala aykırı.
Kesri en sade haline getirmelisin.
36 / 48 = (Her ikisini 12'ye böl) -> 3 / 4
Artık 3 ve 4 aralarında asaldır (Ortak bölenleri yok). Şimdi karşılıklı eşitleyebiliriz.
2x - 1 = 3 => 2x = 4 => x = 2
3y + 1 = 4 => 3y = 3 => y = 1
Cevap: x + y = 2 + 1 = 3
SORU 4: x ve y doğal sayılardır.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: İki Kare Farkını Aç
x² - y² = (x - y) . (x + y) = 17
17 asal bir sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve 17'dir.
Doğal sayılar oldukları için (x+y) toplamı, (x-y) farkından daima büyüktür.
Büyük olan çarpan: x + y = 17
Küçük olan çarpan: x - y = 1
(Taraf tarafa topla)
2x = 18 => x = 9
(yerine koy): 9 + y = 17 => y = 8
x² + y² = 9² + 8²
81 + 64 = 145