MODÜL 2: BÖLÜM 2 - ÇÖZÜMLEME MANTIĞI
"Sayıları Rakamlarına Ayırma Sanatı ve Cebirsel İspat"
1. Çözümleme Nedir?
Bir sayının, rakamlarının basamak değerleri toplamı biçiminde yazılmasına çözümleme denir. Bu bölümde sayıları "görüntü" olmaktan çıkarıp "matematiksel denkleme" dönüştüreceğiz.
2. Kritik Özdeşlikler (Hız Kazandırır)
Aşağıdaki eşitlikleri adın gibi bilmelisin. Sorularda uzun uzun açmak yerine bunları kullanacağız:
- ab + ba = (10a+b) + (10b+a) = 11(a + b)
- ab - ba = (10a+b) - (10b+a) = 9(a - b)
- abc - cba = (100a+10b+c) - (100c+10b+a) = 99a - 99c = 99(a - c)
3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: ab iki basamaklı bir sayıdır.
ab = 5(a + b)
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan ab sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
ab yerine 10a + b yazalım.
10a + b = 5(a + b)
10a + b = 5a + 5b
a'ları bir tarafa, b'leri diğer tarafa alalım:
10a - 5a = 5b - b
5a = 4b
5a = 4b eşitliğinde a ve b rakamdır.
Bu eşitlik sadece a=4 ve b=5 durumunda sağlanır (20=20).
(a=8, b=10 olamaz çünkü b rakam olmalı).
Sonuç: ab sayısı 45'tir.
SORU 2: ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
(ab - ba) / (a - b) = x
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözümü Göster
ab - ba ifadesinin 9(a - b) olduğunu öğrenmiştik.
Yerine yazalım.
[ 9(a - b) ] / (a - b) = x
(a - b)'ler birbirini götürür (a ≠ b varsayılır).
Sonuç: x = 9 (İşlem yapmaya gerek kalmadan kural ile çözülür).
SORU 3: abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc - cba = 396
ve a = c + 4 koşulunu sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır?
Çözümü Göster
abc - cba = 99(a - c) kuralını hatırla.
99(a - c) = 396
a - c = 4
Soru zaten "a = c + 4" yani "a - c = 4" bilgisini vermiş. Bu bilgi denklemle uyuşuyor.
a - c = 4 olacak şekilde rakam verelim:
(9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2), (5, 1).
(4, 0) olamaz çünkü cba üç basamaklıysa c ≠ 0'dır.
Denklemde b'ler birbirini götürmüştü (10b - 10b = 0).
Bu demek ki b rakamı her şeyi alabilir!
b = {0, 1, 2, ..., 9} toplam 10 değer alabilir.
5 farklı (a,c) ikilisi var. Her biri için 10 tane b değeri var.
Sonuç: 5 x 10 = 50 farklı sayı vardır.
SORU 4: AB iki basamaklı, 4AB üç basamaklı sayılardır.
4AB = 9 . (AB)
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
4AB sayısını "400 + AB" şeklinde ayıralım. Bu işlem süresini yarıya indirir.
400 + AB = 9 . (AB)
Sol taraftaki 1 tane AB'yi sağa at.
400 = 9(AB) - 1(AB)
400 = 8(AB)
AB = 400 / 8
AB = 50
A=5, B=0.
A + B = 5 + 0 = 5
Sonuç: 5
SORU 5: İki basamaklı ab sayısının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayı 27 artmaktadır.
Ayrıca a + b = 11 olduğuna göre, a . b kaçtır?
Çözümü Göster
Rakam yer değiştirirse sayı ba olur.
Sayı artıyorsa, yeni sayı (ba) daha büyüktür.
ba - ab = 27
9(b - a) = 27
b - a = 3
Elimizde iki bilgi var:
1) b - a = 3
2) b + a = 11 (Soruda verilmiş)
---------------- (Taraf tarafa topla)
2b = 14 => b = 7
7 + a = 11 => a = 4
Sonuç: a . b = 4 . 7 = 28
SORU 6: Bir bilgisayar algoritması, girilen üç basamaklı abc sayısını şu kurala göre dönüştürüyor:
"Sayının yüzler basamağını 2 artır, onlar basamağını 3 azalt, birler basamağını 5 artır."
Bu işlem sonucunda elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark kaçtır?
Çözümü Göster
Sayı ile değil, değişimle ilgilenelim.
- Yüzler basamağı (+2) artarsa: Sayı +200 artar.
- Onlar basamağı (-3) azalırsa: Sayı -30 azalır.
- Birler basamağı (+5) artarsa: Sayı +5 artar.
Değişim = (+200) + (-30) + (+5)
Değişim = 200 - 30 + 5
Değişim = 170 + 5 = 175
Sonuç: Sayı 175 artar. (Cevap 175'tir).
MODÜL 2: BÖLÜM 2 - ÇÖZÜMLEME MANTIĞI
"Sayıları Rakamlarına Ayırma Sanatı ve Cebirsel İspat"
1. Çözümleme Nedir?
Bir sayının, rakamlarının basamak değerleri toplamı biçiminde yazılmasına çözümleme denir. Bu bölümde sayıları "görüntü" olmaktan çıkarıp "matematiksel denkleme" dönüştüreceğiz.
2. Kritik Özdeşlikler (Hız Kazandırır)
Aşağıdaki eşitlikleri adın gibi bilmelisin. Sorularda uzun uzun açmak yerine bunları kullanacağız:
- ab + ba = (10a+b) + (10b+a) = 11(a + b)
- ab - ba = (10a+b) - (10b+a) = 9(a - b)
- abc - cba = (100a+10b+c) - (100c+10b+a) = 99a - 99c = 99(a - c)
3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: ab iki basamaklı bir sayıdır.
ab = 5(a + b)
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan ab sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
ab yerine 10a + b yazalım.
10a + b = 5(a + b)
10a + b = 5a + 5b
a'ları bir tarafa, b'leri diğer tarafa alalım:
10a - 5a = 5b - b
5a = 4b
5a = 4b eşitliğinde a ve b rakamdır.
Bu eşitlik sadece a=4 ve b=5 durumunda sağlanır (20=20).
(a=8, b=10 olamaz çünkü b rakam olmalı).
Sonuç: ab sayısı 45'tir.
SORU 2: ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
(ab - ba) / (a - b) = x
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözümü Göster
ab - ba ifadesinin 9(a - b) olduğunu öğrenmiştik.
Yerine yazalım.
[ 9(a - b) ] / (a - b) = x
(a - b)'ler birbirini götürür (a ≠ b varsayılır).
Sonuç: x = 9 (İşlem yapmaya gerek kalmadan kural ile çözülür).
SORU 3: abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc - cba = 396
ve a = c + 4 koşulunu sağlayan kaç farklı abc sayısı vardır?
Çözümü Göster
abc - cba = 99(a - c) kuralını hatırla.
99(a - c) = 396
a - c = 4
Soru zaten "a = c + 4" yani "a - c = 4" bilgisini vermiş. Bu bilgi denklemle uyuşuyor.
a - c = 4 olacak şekilde rakam verelim:
(9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2), (5, 1).
(4, 0) olamaz çünkü cba üç basamaklıysa c ≠ 0'dır.
Denklemde b'ler birbirini götürmüştü (10b - 10b = 0).
Bu demek ki b rakamı her şeyi alabilir!
b = {0, 1, 2, ..., 9} toplam 10 değer alabilir.
5 farklı (a,c) ikilisi var. Her biri için 10 tane b değeri var.
Sonuç: 5 x 10 = 50 farklı sayı vardır.
SORU 4: AB iki basamaklı, 4AB üç basamaklı sayılardır.
4AB = 9 . (AB)
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
4AB sayısını "400 + AB" şeklinde ayıralım. Bu işlem süresini yarıya indirir.
400 + AB = 9 . (AB)
Sol taraftaki 1 tane AB'yi sağa at.
400 = 9(AB) - 1(AB)
400 = 8(AB)
AB = 400 / 8
AB = 50
A=5, B=0.
A + B = 5 + 0 = 5
Sonuç: 5
SORU 5: İki basamaklı ab sayısının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde sayı 27 artmaktadır.
Ayrıca a + b = 11 olduğuna göre, a . b kaçtır?
Çözümü Göster
Rakam yer değiştirirse sayı ba olur.
Sayı artıyorsa, yeni sayı (ba) daha büyüktür.
ba - ab = 27
9(b - a) = 27
b - a = 3
Elimizde iki bilgi var:
1) b - a = 3
2) b + a = 11 (Soruda verilmiş)
---------------- (Taraf tarafa topla)
2b = 14 => b = 7
7 + a = 11 => a = 4
Sonuç: a . b = 4 . 7 = 28
SORU 6: Bir bilgisayar algoritması, girilen üç basamaklı abc sayısını şu kurala göre dönüştürüyor:
"Sayının yüzler basamağını 2 artır, onlar basamağını 3 azalt, birler basamağını 5 artır."
Bu işlem sonucunda elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark kaçtır?
Çözümü Göster
Sayı ile değil, değişimle ilgilenelim.
- Yüzler basamağı (+2) artarsa: Sayı +200 artar.
- Onlar basamağı (-3) azalırsa: Sayı -30 azalır.
- Birler basamağı (+5) artarsa: Sayı +5 artar.
Değişim = (+200) + (-30) + (+5)
Değişim = 200 - 30 + 5
Değişim = 170 + 5 = 175
Sonuç: Sayı 175 artar. (Cevap 175'tir).