MODÜL 2: BÖLÜM 3 - DÖRT İŞLEM VE BASAMAK ANALİZİ
"Sayıları Yönetmek: Kaydırma Hataları ve Bölme Tuzakları"
1. Çarpma İşleminde "Kaydırma" Mantığı
Normal bir çarpma işleminde, çarpanın onlar basamağına geçtiğimizde sonucu bir basamak sola kaydırırız. Çünkü aslında o rakamla değil, o rakamın 10 katıyla çarpıyoruzdur.
Eğer bir soruda "öğrenci basamak kaydırmayı unuttu" deniliyorsa, sayıları basamak değeriyle değil, sayı değeriyle çarpmış demektir.
AB
x 43
... (3 . AB)
... (40 . AB)
SONUÇ: 43 . AB ✅ Kaydırma VAR
AB
x 43
... (3 . AB)
... (4 . AB)
SONUÇ: (4+3) . AB = 7 . AB ❌ Kaydırma YOK
2. Bölme İşleminde "Sıfır Atma" Kuralı
Bölme yaparken yukarıdan indirdiğin rakamda bölen sayı yoksa, BÖLÜME MUTLAKA SIFIR ATILIR! Bu kural KPSS'de en çok can yakan yerdir.
1. AB'de AB var -> 1
2. 0'ı indirdin, AB yok -> 0 (Bölüm: 10)
3. A'yı indirdin, AB yok -> 0 (Bölüm: 100)
4. B'yi indirdin (AB oldu), AB'de AB var -> 1 (Bölüm: 1001)
Sonuç: 1001
3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Bir öğrenci, iki basamaklı xy sayısını 45 ile çarparken, ikinci satırı sola kaydırmayı unutarak sonucu 189 bulmuştur.
Buna göre, bu çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Kaydırma yapılmadığı için öğrenci, onlar basamağındaki 4'ü sanki birler basamağındaymış gibi (4 olarak) toplamıştır.
Yani yaptığı işlem: (4 + 5) . xy = 189 dur.
9 . xy = 189
xy = 189 / 9
xy = 21
Doğru işlem: 21 x 45
21 x 45 = 945
Sonuç: 945
SORU 2: Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 2 artırılır, onlar basamağı 3 azaltılır ve birler basamağı 5 artırılırsa, sayıdaki toplam değişim kaç olur?
Çözümü Göster
Sayıya x demeye gerek yok, sadece değişime odaklanalım.
- Yüzler basamağı (+2) artarsa: Sayı +200 artar.
- Onlar basamağı (-3) azalırsa: Sayı -30 azalır. (3 x 10)
- Birler basamağı (+5) artarsa: Sayı +5 artar. (5 x 1)
Değişim = (+200) - (30) + (5)
Değişim = 170 + 5 = 175
Sonuç: Sayı 175 artar.
SORU 3: Altı basamaklı xy00xy sayısı, iki basamaklı xy sayısına bölündüğünde; Bölüm A, Kalan B olmaktadır.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
xy00xy / xy
- xy'de xy -> 1 kere.
- 0 indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (10)
- 0 indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (100)
- x indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (1000)
- y indirdik (xy oldu), xy var -> 1 kere. (10001)
Bölüm (A) = 10001
Tam bölündüğü için Kalan (B) = 0
Sonuç: A + B = 10001 + 0 = 10001
SORU 4: x ve y pozitif tam sayılardır. x . y çarpımında, x'in onlar basamağı 2 artırılıp, y'nin onlar basamağı 2 azaltılırsa çarpımın sonucu 20 azalıyor.
Buna göre, y - x farkı kaçtır?
Çözümü Göster
x'in onlar basamağı 2 artarsa: Yeni x = (x + 20)
y'nin onlar basamağı 2 azalırsa: Yeni y = (y - 20)
Yeni Çarpım = Eski Çarpım - 20
(x + 20) . (y - 20) = x.y - 20
x.y - 20x + 20y - 400 = x.y - 20
(x.y'ler birbirini götürür)
-20x + 20y - 400 = -20
20y - 20x = 380
20(y - x) = 380
y - x = 19
Sonuç: 19
SORU 5: A, B, C ve D sıfırdan farklı rakamlardır.
AB
x CD
----
İşleminde A rakamı 3 artırılıp, C rakamı 3 azaltıldığında çarpımın sonucu değişmemektedir.
Buna göre, CD - AB farkı kaçtır?
Çözümü Göster
A onlar basamağındadır. 3 artarsa AB sayısı 30 artar.
C onlar basamağındadır. 3 azalırsa CD sayısı 30 azalır.
AB . CD = (AB + 30) . (CD - 30)
AB.CD = AB.CD - 30.AB + 30.CD - 900
(AB.CD'ler gider)
0 = -30.AB + 30.CD - 900
30.AB + 900 = 30.CD (Her tarafı 30'a böl)
AB + 30 = CD
CD - AB = 30
Sonuç: 30
SORU 6: Bir kasiyer, 45 . x işlemini yaparken yanlışlıkla "4" tuşu yerine "1" tuşuna basmıştır.
Bulduğu sonuç, gerçek sonuçtan 540 eksik olduğuna göre, x sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Gerçek işlem: 45 . x
Hatalı işlem: 15 . x (4 yerine 1'e bastığı için onlar basamağı değişti).
Gerçek - Hatalı = 540
45x - 15x = 540
30x = 540
x = 540 / 30
x = 18
Sonuç: x sayısı 18'dir.
MODÜL 2: BÖLÜM 3 - DÖRT İŞLEM VE BASAMAK ANALİZİ
"Sayıları Yönetmek: Kaydırma Hataları ve Bölme Tuzakları"
1. Çarpma İşleminde "Kaydırma" Mantığı
Normal bir çarpma işleminde, çarpanın onlar basamağına geçtiğimizde sonucu bir basamak sola kaydırırız. Çünkü aslında o rakamla değil, o rakamın 10 katıyla çarpıyoruzdur.
Eğer bir soruda "öğrenci basamak kaydırmayı unuttu" deniliyorsa, sayıları basamak değeriyle değil, sayı değeriyle çarpmış demektir.
AB
x 43
... (3 . AB)
... (40 . AB)
SONUÇ: 43 . AB ✅ Kaydırma VAR
AB
x 43
... (3 . AB)
... (4 . AB)
SONUÇ: (4+3) . AB = 7 . AB ❌ Kaydırma YOK
2. Bölme İşleminde "Sıfır Atma" Kuralı
Bölme yaparken yukarıdan indirdiğin rakamda bölen sayı yoksa, BÖLÜME MUTLAKA SIFIR ATILIR! Bu kural KPSS'de en çok can yakan yerdir.
1. AB'de AB var -> 1
2. 0'ı indirdin, AB yok -> 0 (Bölüm: 10)
3. A'yı indirdin, AB yok -> 0 (Bölüm: 100)
4. B'yi indirdin (AB oldu), AB'de AB var -> 1 (Bölüm: 1001)
Sonuç: 1001
3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri
SORU 1: Bir öğrenci, iki basamaklı xy sayısını 45 ile çarparken, ikinci satırı sola kaydırmayı unutarak sonucu 189 bulmuştur.
Buna göre, bu çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Kaydırma yapılmadığı için öğrenci, onlar basamağındaki 4'ü sanki birler basamağındaymış gibi (4 olarak) toplamıştır.
Yani yaptığı işlem: (4 + 5) . xy = 189 dur.
9 . xy = 189
xy = 189 / 9
xy = 21
Doğru işlem: 21 x 45
21 x 45 = 945
Sonuç: 945
SORU 2: Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 2 artırılır, onlar basamağı 3 azaltılır ve birler basamağı 5 artırılırsa, sayıdaki toplam değişim kaç olur?
Çözümü Göster
Sayıya x demeye gerek yok, sadece değişime odaklanalım.
- Yüzler basamağı (+2) artarsa: Sayı +200 artar.
- Onlar basamağı (-3) azalırsa: Sayı -30 azalır. (3 x 10)
- Birler basamağı (+5) artarsa: Sayı +5 artar. (5 x 1)
Değişim = (+200) - (30) + (5)
Değişim = 170 + 5 = 175
Sonuç: Sayı 175 artar.
SORU 3: Altı basamaklı xy00xy sayısı, iki basamaklı xy sayısına bölündüğünde; Bölüm A, Kalan B olmaktadır.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
xy00xy / xy
- xy'de xy -> 1 kere.
- 0 indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (10)
- 0 indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (100)
- x indirdik, xy yok -> Bölüme 0 at. (1000)
- y indirdik (xy oldu), xy var -> 1 kere. (10001)
Bölüm (A) = 10001
Tam bölündüğü için Kalan (B) = 0
Sonuç: A + B = 10001 + 0 = 10001
SORU 4: x ve y pozitif tam sayılardır. x . y çarpımında, x'in onlar basamağı 2 artırılıp, y'nin onlar basamağı 2 azaltılırsa çarpımın sonucu 20 azalıyor.
Buna göre, y - x farkı kaçtır?
Çözümü Göster
x'in onlar basamağı 2 artarsa: Yeni x = (x + 20)
y'nin onlar basamağı 2 azalırsa: Yeni y = (y - 20)
Yeni Çarpım = Eski Çarpım - 20
(x + 20) . (y - 20) = x.y - 20
x.y - 20x + 20y - 400 = x.y - 20
(x.y'ler birbirini götürür)
-20x + 20y - 400 = -20
20y - 20x = 380
20(y - x) = 380
y - x = 19
Sonuç: 19
SORU 5: A, B, C ve D sıfırdan farklı rakamlardır.
AB
x CD
----
İşleminde A rakamı 3 artırılıp, C rakamı 3 azaltıldığında çarpımın sonucu değişmemektedir.
Buna göre, CD - AB farkı kaçtır?
Çözümü Göster
A onlar basamağındadır. 3 artarsa AB sayısı 30 artar.
C onlar basamağındadır. 3 azalırsa CD sayısı 30 azalır.
AB . CD = (AB + 30) . (CD - 30)
AB.CD = AB.CD - 30.AB + 30.CD - 900
(AB.CD'ler gider)
0 = -30.AB + 30.CD - 900
30.AB + 900 = 30.CD (Her tarafı 30'a böl)
AB + 30 = CD
CD - AB = 30
Sonuç: 30
SORU 6: Bir kasiyer, 45 . x işlemini yaparken yanlışlıkla "4" tuşu yerine "1" tuşuna basmıştır.
Bulduğu sonuç, gerçek sonuçtan 540 eksik olduğuna göre, x sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Gerçek işlem: 45 . x
Hatalı işlem: 15 . x (4 yerine 1'e bastığı için onlar basamağı değişti).
Gerçek - Hatalı = 540
45x - 15x = 540
30x = 540
x = 540 / 30
x = 18
Sonuç: x sayısı 18'dir.