MODÜL 5: BÖLÜM 1 - EBOB VE EKOK HESAPLAMA
"Parçalamak mı, Birleştirmek mi? İşte bütün mesele bu!"
Verilen sayıların hepsini aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Sayıları "parçalar", küçültür.
Verilen sayıların buluştuğu ilk (en küçük) sayıdır. Sayıları "büyütür", birleştirir.
1. Klasik Yöntem: Asal Çarpan Algoritması
Sayılar yan yana yazılır ve asal çarpanlarına ayrılır. En önemli nokta şudur:
Nasıl Hesaplanır?
- EBOB: Sadece her iki sayıyı da AYNI ANDA BÖLEN (yanına yıldız koyduğumuz) sayılar çarpılır.
EBOB(24, 36) = 2 . 2 . 3 = 12 - EKOK: Çizginin sağındaki TÜM SAYILAR çarpılır.
EKOK(24, 36) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
2. Üslü Sayı Yöntemi (Pratik Yol)
Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış halde verilirse (Örn: A = 2³ . 3²);
- EBOB için: Ortak tabanlardan üssü KÜÇÜK olanlar alınır.
- EKOK için: Ortak tabanlardan üssü BÜYÜK olanlar ve ortak olmayanların hepsi alınır.
3. Örnek Soru Çözümleri
18 ve 24 sayılarının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Algoritmayı kuralım:
EBOB: Ortak bölenler: 2 ve 3.
EBOB = 2 . 3 = 6
EKOK: Hepsinin çarpımı.
EKOK = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 8 . 9 = 72
Sonuç: 6 + 72 = 78
12, 18 ve 30 sayılarının EBOB'u kaçtır?
Çözümü Göster
EBOB için üçünü aynı anda bölen sayıları işaretlemeliyiz.
Sonuç: EBOB = 2 . 3 = 6
A = 2³ . 3² . 5¹
B = 2² . 3³ . 7¹
olduğuna göre, EKOK(A, B) / EBOB(A, B) oranı kaçtır?
Çözümü Göster
EBOB (Küçükleri al):
2'ler için: 2²
3'ler için: 3²
(5 ve 7 ortak değil, alma)
EBOB = 2² . 3²
EKOK (Büyükleri ve ortak olmayanları al):
2'ler için: 2³
3'ler için: 3³
Diğerleri: 5¹ . 7¹
EKOK = 2³ . 3³ . 5 . 7
Bölme İşlemi (Sadeleştirme):
(2³ . 3³ . 5 . 7) / (2² . 3²)
= 2¹ . 3¹ . 5 . 7
= 2 . 3 . 5 . 7 = 210
a ve b doğal sayılarının oranı 3/4 tür. EBOB(a, b) = 6 olduğuna göre, EKOK(a, b) kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Oran 3/4 ise sayıları k ile genişletelim.
a = 3k
b = 4k
Adım 2: 3k ve 4k sayılarının en büyük ortak böleni k'dır (3 ve 4 aralarında asaldır).
O halde EBOB(a, b) = k demektir.
Soruda EBOB = 6 verilmiş. Demek ki k = 6.
Adım 3: Sayıları bulalım.
a = 3 . 6 = 18
b = 4 . 6 = 24
Adım 4: EKOK(18, 24) hesapla.
Pratik yol: EKOK(3k, 4k) = 3 . 4 . k = 12k = 12 . 6 = 72.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 olduğuna göre diğeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kural 1: Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
Kural 2: EBOB . EKOK = Sayıların Çarpımı (a . b)
Verilenleri yerine koyalım:
1 . 60 = 12 . b
60 = 12 . b
b = 5
Cevap: 5 (Sağlama: 12 ve 5 aralarında asaldır, EKOK'ları 60'tır.)
Bir dijital kilit sisteminde şifre, ekranda görünen iki sayının EBOB ve EKOK değerlerine göre belirlenmektedir.
Kural şöyledir:
1. Tuş: EBOB(Sayı 1, Sayı 2)
2. Tuş: EKOK(Sayı 1, Sayı 2) / EBOB(Sayı 1, Sayı 2)
Ekranda 12 ve 15 sayıları varken kilit şifresi ne olur?
Çözümü Göster
Adım 1: EBOB ve EKOK Bul
12 = 2² . 3
15 = 3 . 5
EBOB(12, 15) = 3 (Sadece 3 ortak)
EKOK(12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60
Adım 2: Tuşları Hesapla
1. Tuş = EBOB = 3
2. Tuş = EKOK / EBOB = 60 / 3 = 20
Sonuç: Şifre 320 (veya sisteme göre 3 ve 20 girilir).
MODÜL 5: BÖLÜM 1 - EBOB VE EKOK HESAPLAMA
"Parçalamak mı, Birleştirmek mi? İşte bütün mesele bu!"
Verilen sayıların hepsini aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Sayıları "parçalar", küçültür.
Verilen sayıların buluştuğu ilk (en küçük) sayıdır. Sayıları "büyütür", birleştirir.
1. Klasik Yöntem: Asal Çarpan Algoritması
Sayılar yan yana yazılır ve asal çarpanlarına ayrılır. En önemli nokta şudur:
Nasıl Hesaplanır?
- EBOB: Sadece her iki sayıyı da AYNI ANDA BÖLEN (yanına yıldız koyduğumuz) sayılar çarpılır.
EBOB(24, 36) = 2 . 2 . 3 = 12 - EKOK: Çizginin sağındaki TÜM SAYILAR çarpılır.
EKOK(24, 36) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
2. Üslü Sayı Yöntemi (Pratik Yol)
Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış halde verilirse (Örn: A = 2³ . 3²);
- EBOB için: Ortak tabanlardan üssü KÜÇÜK olanlar alınır.
- EKOK için: Ortak tabanlardan üssü BÜYÜK olanlar ve ortak olmayanların hepsi alınır.
3. Örnek Soru Çözümleri
18 ve 24 sayılarının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Algoritmayı kuralım:
EBOB: Ortak bölenler: 2 ve 3.
EBOB = 2 . 3 = 6
EKOK: Hepsinin çarpımı.
EKOK = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 8 . 9 = 72
Sonuç: 6 + 72 = 78
12, 18 ve 30 sayılarının EBOB'u kaçtır?
Çözümü Göster
EBOB için üçünü aynı anda bölen sayıları işaretlemeliyiz.
Sonuç: EBOB = 2 . 3 = 6
A = 2³ . 3² . 5¹
B = 2² . 3³ . 7¹
olduğuna göre, EKOK(A, B) / EBOB(A, B) oranı kaçtır?
Çözümü Göster
EBOB (Küçükleri al):
2'ler için: 2²
3'ler için: 3²
(5 ve 7 ortak değil, alma)
EBOB = 2² . 3²
EKOK (Büyükleri ve ortak olmayanları al):
2'ler için: 2³
3'ler için: 3³
Diğerleri: 5¹ . 7¹
EKOK = 2³ . 3³ . 5 . 7
Bölme İşlemi (Sadeleştirme):
(2³ . 3³ . 5 . 7) / (2² . 3²)
= 2¹ . 3¹ . 5 . 7
= 2 . 3 . 5 . 7 = 210
a ve b doğal sayılarının oranı 3/4 tür. EBOB(a, b) = 6 olduğuna göre, EKOK(a, b) kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: Oran 3/4 ise sayıları k ile genişletelim.
a = 3k
b = 4k
Adım 2: 3k ve 4k sayılarının en büyük ortak böleni k'dır (3 ve 4 aralarında asaldır).
O halde EBOB(a, b) = k demektir.
Soruda EBOB = 6 verilmiş. Demek ki k = 6.
Adım 3: Sayıları bulalım.
a = 3 . 6 = 18
b = 4 . 6 = 24
Adım 4: EKOK(18, 24) hesapla.
Pratik yol: EKOK(3k, 4k) = 3 . 4 . k = 12k = 12 . 6 = 72.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 olduğuna göre diğeri kaçtır?
Çözümü Göster
Kural 1: Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
Kural 2: EBOB . EKOK = Sayıların Çarpımı (a . b)
Verilenleri yerine koyalım:
1 . 60 = 12 . b
60 = 12 . b
b = 5
Cevap: 5 (Sağlama: 12 ve 5 aralarında asaldır, EKOK'ları 60'tır.)
Bir dijital kilit sisteminde şifre, ekranda görünen iki sayının EBOB ve EKOK değerlerine göre belirlenmektedir.
Kural şöyledir:
1. Tuş: EBOB(Sayı 1, Sayı 2)
2. Tuş: EKOK(Sayı 1, Sayı 2) / EBOB(Sayı 1, Sayı 2)
Ekranda 12 ve 15 sayıları varken kilit şifresi ne olur?
Çözümü Göster
Adım 1: EBOB ve EKOK Bul
12 = 2² . 3
15 = 3 . 5
EBOB(12, 15) = 3 (Sadece 3 ortak)
EKOK(12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60
Adım 2: Tuşları Hesapla
1. Tuş = EBOB = 3
2. Tuş = EKOK / EBOB = 60 / 3 = 20
Sonuç: Şifre 320 (veya sisteme göre 3 ve 20 girilir).