İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 11: Bölüm 4 - Eşlenik Kavramı

MODÜL 11: BÖLÜM 4 - EŞLENİK VE PAYDAYI KURTARMA

"Matematik, Bodrum Katında (Paydada) Kök Sevmez!"

1. Eşlenik Nedir?

Bir köklü sayıyı, kökten kurtarıp "Rasyonel Sayı" (normal sayı) yapan çarpana o sayının Eşleniği denir. Kesirlerin paydasında kök varsa, kesri bu eşlenikle genişletiriz.

Durum 1: Tek Başına İse (Yalnız Kök)

Eğer paydada tek bir kök varsa, eşleniği KENDİSİDİR.

√a
.
√a
= a

Örn: √5'in eşleniği √5'tir. Çarparsan dışarı 5 çıkar.

Durum 2: İkili İse (İki Kare Farkı)

Eğer paydada aralarında artı/eksi olan iki terim varsa, eşleniği ORTADAKİ İŞARETİN TERSİDİR.

(
√a
-
√b
) . (
√a
+
√b
) = a - b

Müthiş bir taktik: Kökleri sil, araya eksi koy!

💡 İki Kare Farkı Pratiği

Eşleniklerle çarpma yaparken uzun uzun dağıtmana gerek yok. Kural çok basit:

(Birincinin Karesi) - (İkincinin Karesi)

(
√7
-
√3
) . (
√7
+
√3
) = 7 - 3 = 4

2. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Tek Kökten Kurtulma
15
√5

işleminin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Çözümü Göster

Paydada tek başına bir √5 var. Eşleniği yine √5'tir. Kesri √5 ile genişletelim (Hem payı hem paydayı çarpalım).

  • Pay: 15 .
    √5
    = 15
    √5
  • Payda:
    √5
    .
    √5
    = 5

Şimdi ifadeyi yazıp, dışarıdaki sayıları sadeleştirelim:

15
√5
 5

15'i 5'e bölersek 3 kalır.
Cevap: 3

√5

ORTA SORU 2: İkili Eşlenik Çarpımı
8
√5
- 1

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Paydanın eşleniği aradaki işaretin tersidir: (√5 + 1). Kesri bu ifadeyle genişletelim.

  • Pay: 8 . (
    √5
    + 1)
  • Payda: (
    √5
    - 1) . (
    √5
    + 1)     ➡ İki kare farkından (5 - 1) = 4

Kesri tekrar yazalım:

8(
√5
+ 1) 4

Dışarıdaki 8 ile 4'ü sadeleştir: 2 kalır.

2'yi parantez içine dağıt:
Cevap: 2

√5
+ 2

ORTA SORU 3: Birden Fazla Kesir
6
√7
-
√5
+
6
√7
+
√5

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Her iki kesri de kendi eşleniğiyle genişletelim.

  • 1. Kesrin eşleniği: (√7 + √5)
  • 2. Kesrin eşleniği: (√7 - √5)

İki kesrin de paydası aynı olur: (7 - 5 = 2).

1. Kesir:

6(
√7
+
√5
)2
= 3(
√7
+
√5
)

2. Kesir:

6(
√7
-
√5
)2
= 3(
√7
-
√5
)

Şimdi toplayalım ve 3'leri dağıtalım:

3

√7
+ 3
√5
+ 3
√7
- 3
√5

+3√5 ile -3√5 birbirini götürür.

Cevap: 6

√7

ZOR SORU 4: Pay ve Paydada Eşlenik
√3
- 1
√3
+ 1

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözümü Göster

Paydanın eşleniği (√3 - 1)'dir. Kesri bu ifadeyle genişletelim.

  • Pay (Üst Kısım): (
    √3
    - 1) . (
    √3
    - 1) = (
    √3
    - 1)2
    Tam Kare Açılımı: (Birincinin karesi - Çarpımlarının 2 katı + İkincinin karesi)
    3 - 2
    √3
    + 1 = 4 - 2
    √3
  • Payda (Alt Kısım): İki kare farkından dolayı 3 - 1 = 2

İfadeyi yazıp her iki terimi de ayrı ayrı 2'ye bölelim:

4 - 2
√3
 2

4/2 = 2 ve 2√3/2 = √3.

Cevap: 2 -

√3

YENİ NESİL GEOMETRİ SORU 5: Dikdörtgenin Kenarını Bulma

Alanı 15 cm² olan bir dikdörtgenin uzun kenarı (√8 + √3) cm'dir.
Buna göre bu dikdörtgenin kısa kenarı kaç cm'dir?

Çözümü Göster

Dikdörtgenin Alanı = Uzun Kenar x Kısa Kenar.

Kısa Kenarı bulmak için Alanı, Uzun Kenara bölmeliyiz.

Kısa Kenar =
15
√8
+
√3

Paydayı rasyonel yapmak için eşleniği olan (√8 - √3) ile çarpalım.

  • Payda: (8 - 3) = 5 olur.
  • Pay: 15 . (
    √8
    -
    √3
    )

Dışarıdaki 15 ile paydadaki 5 sadeleşir, geriye 3 kalır:

3 . (

√8
-
√3
)

İçerideki √8 sayısını 2√2 olarak dışarı çıkarıp 3'ü dağıtalım:

3 . (2

√2
-
√3
)

Cevap: 6

√2
- 3
√3