İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 4: Bölüm 4 - Faktöriyel ve Asallar

MODÜL 4: BÖLÜM 4 - FAKTÖRİYEL VE ASAL ÇARPANLAR

"Zincirleme Bölme Yöntemi"

1. Temel Kural: Zincirleme Bölme

Bir faktöriyel sayısının (örneğin 40!) içinde belirli bir ASAL sayıdan kaç tane olduğunu bulmak için, sayıyı sürekli o asal sayıya böleriz ve elde edilen BÖLÜMLERİ toplarız. Kalanlar işimize yaramaz.

ÖRNEK: 10! içinde kaç tane 2 çarpanı vardır?
10 / 2 = 5 (Bölüm) 5 / 2 = 2 (Bölüm) 2 / 2 = 1 (Bölüm) ----------- Toplam: 5 + 2 + 1 = 8 tane

Not: Bölme işlemi, bölüm o sayıya bölünemeyecek hale gelene kadar devam eder.

2. Asal Olmayan Taban (Bileşik Sayı) Tuzağı

⚠️ ÇOK ÖNEMLİ KURAL:

Eğer taban asal değilse (Örn: 6, 10, 15 gibi), doğrudan bölme yapamazsın!

  1. Tabanı asal çarpanlarına ayır. (Örn: 6 = 2 . 3)
  2. Her zaman BÜYÜK OLAN ASAL SAYIYA göre işlem yap.

Neden? Çünkü büyük asal sayı "kısıtlayıcı faktör"dür. Bir yemeği yapmak için un (küçük sayı) ve yağ (büyük sayı) gerekiyorsa, elinde ne kadar az yağ varsa o kadar az yemek yapabilirsin.

3. "Sondan Kaç Basamağı Sıfırdır?"

Bu soru kalıbı aslında "İçinde kaç tane 10 çarpanı vardır?" demektir.

  • 10 asal değildir. 10 = 2 . 5
  • Büyük olan asal 5'tir.
  • Kural: Sayıyı sürekli 5'e bölüp bölümleri toplarız.

4. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri

SORU 1 (Temel):

43! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?

Çözümü Göster

3 asal sayı olduğu için direkt zincirleme bölme yapıyoruz.

43 / 3 = 14 14 / 3 = 4 4 / 3 = 1 ----------- Toplam: 14 + 4 + 1 = 19

Cevap: 19 tanedir.

SORU 2 (Bileşik Taban):

A ve x doğal sayılardır.
60! = 6x . A
olduğuna göre, x en çok kaçtır?

Çözümü Göster

Adım 1: 6 asal değildir. 6 = 2 . 3

Adım 2: Büyük olan asalı seçiyoruz: 3.

Adım 3: 60'ı sürekli 3'e bölüyoruz.

60 / 3 = 20 20 / 3 = 6 6 / 3 = 2 ----------- Toplam: 20 + 6 + 2 = 28

Cevap: x en çok 28 olur.

SORU 3 (Sondan Sıfır):

73! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözümü Göster

Mantık: Sondaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanı sayısına eşittir.

73 / 5 = 14 14 / 5 = 2 ----------- Toplam: 14 + 2 = 16

Cevap: 16 basamağı sıfırdır.

SORU 4 (Üslü Sayı Tuzağı):

30! sayısı 8x ile tam bölünebildiğine göre, x en çok kaçtır?

Çözümü Göster

Adım 1: Tabanı Asal Yap
8 = 23 tür. Yani bizden üçerli paketlenmiş 2'ler isteniyor.

Adım 2: Önce 2 Sayısını Bul
30! içindeki tüm 2'leri bulalım.

30/2 = 15 15/2 = 7 7/2 = 3 3/2 = 1 -------- Toplam: 15+7+3+1 = 26 tane 2 var.

Adım 3: Paketle (Gruplandır)
Her bir 8 sayısı için üç tane 2 lazım (2³). Elimdeki 26 tane 2'yi 3'e bölüyorum.
26 / 3 = 8 (Kalan 2 tane artar, paket olamaz).

Cevap: 8

SORU 5 (Toplam Durumu):

24! + 25! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözümü Göster
⚠️ Ayrı ayrı 5'e bölüp toplarsan YANLIŞ olur! Önce çarpım haline getirmelisin.

Adım 1: Ortak Parantez
24! + 25 . 24! = 24!(1 + 25) = 24! . 26

Adım 2: 5'leri Say
Bu çarpımda toplam kaç tane 5 var?

  • 24! içinde: 24/5 = 4 tane. (4/5 bölünmez, bitti).
  • 26 sayısı içinde: 26 = 2 . 13 (Burada 5 çarpanı YOK).

Cevap: Sadece 4 tane.

Not: Eğer parantez içi 35 (5 x 7) çıksaydı, oradan gelen bir tane 5'i de toplama eklerdik.