MODÜL 1 / BÖLÜM 6: FAKTÖRİYEL KAVRAMI
"Sadeleştirme Sanatı: Büyüğü Küçüğe Benzet!"
1. Faktöriyel Nedir?
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
- 0! = 1 (Özel Kabul - Sakın 0 deme!)
- 1! = 1
- 2! = 2
- 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
2. Altın Kural: "Benzerini Bul, Dur!"
Faktöriyel sorularını çözmenin tek yolu; büyük olan faktöriyeli, küçük olan faktöriyeli görene kadar geriye doğru açmaktır.
n! = n . (n-1)!
(n+2)! = (n+2) . (n+1) . n!
Faktöriyellerde direkt toplama veya çıkarma yapılamaz.
YANLIŞ: 5! + 2! = 7! (Hayır!)
DOĞRU: Ortak paranteze alarak işlem yapılır.
ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: (9! - 8!) / 7! işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Hepsini en küçük olana (7!) benzet.
9! = 9 . 8 . 7!
8! = 8 . 7!
(9 . 8 . 7!) - (8 . 7!)
7! parantezinde -> 7! . (72 - 8) = 7! . 64
[ 7! . 64 ] / 7!
7! ifadeleri birbirini götürür.
Cevap: 64
SORU 2: (n+2)! / n! = 72 olduğuna göre, n kaçtır?
Çözümü Göster
Kural: Büyüğü (n+2)!, küçüğe n! kadar aç.
(n+2)! = (n+2) . (n+1) . n!
[ (n+2) . (n+1) . n! ] / n! = 72
n! ifadeleri sadeleşir.
(n+2) . (n+1) = 72
Hangi ardışık iki sayının çarpımı 72 eder?
9 ve 8. (Büyük olan 9, küçük olan 8).
n+2 = 9 => n = 7
Cevap: 7
SORU 3: (6! + 5!) / (4! + 3!) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Payı kendi içinde, paydayı kendi içinde en küçüğe benzet.
6! + 5! = (6 . 5!) + (1 . 5!) = 5! . (6+1) = 5! . 7
4! + 3! = (4 . 3!) + (1 . 3!) = 3! . (4+1) = 3! . 5
(5! . 7) / (3! . 5)
5! = 120 ve 3! = 6'dır.
(120 . 7) / (6 . 5) = 840 / 30 = 28
Cevap: 28
SORU 4: 93! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster
Taktik: Sayının içindeki 10 çarpanını arıyoruz. 10 = 2 x 5 olduğundan, belirleyici olan büyük asal sayı yani 5'e sürekli böleriz.
93 / 5 = 18 (Kalanı boşver, bölümü al).
18 sayısı hala 5'e bölünebiliyor.
18 / 5 = 3
3 sayısı 5'e bölünmez. İşlem bitti.
18 + 3 = 21
Cevap: 21 tane sıfır vardır.
SORU 5: 48! = 3n . A (A bir doğal sayı)
Olduğuna göre, n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Soru Ne Demek İstiyor?
48! sayısının içinde çarpan olarak kaç tane 3 vardır? (Sıfır bulma mantığıyla aynı, sadece 5 yerine 3'e böleceğiz).
48 / 3 = 16
16 / 3 = 5
5 / 3 = 1
1 / 3 (Bölünmez).
16 + 5 + 1 = 22
Cevap: n en çok 22 olabilir.
SORU 6: 35! = 15x . y (y bir doğal sayı)
Olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
⚠️ KRİTİK NOKTA: Taban (15) ASAL DEĞİL!
15 = 3 x 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
Kural şudur: Bileşik sayılarda, BÜYÜK OLAN ASAL ÇARPANA göre işlem yapılır. Çünkü büyük çarpan daha az bulunur ve sınırlayıcıdır.
35 / 5 = 7
7 / 5 = 1
1 / 5 (Bölünmez).
7 + 1 = 8
Cevap: x en çok 8 olabilir. (Sakın 15'e bölmeyin!)
MODÜL 1 / BÖLÜM 6: FAKTÖRİYEL KAVRAMI
"Sadeleştirme Sanatı: Büyüğü Küçüğe Benzet!"
1. Faktöriyel Nedir?
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
- 0! = 1 (Özel Kabul - Sakın 0 deme!)
- 1! = 1
- 2! = 2
- 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
2. Altın Kural: "Benzerini Bul, Dur!"
Faktöriyel sorularını çözmenin tek yolu; büyük olan faktöriyeli, küçük olan faktöriyeli görene kadar geriye doğru açmaktır.
n! = n . (n-1)!
(n+2)! = (n+2) . (n+1) . n!
Faktöriyellerde direkt toplama veya çıkarma yapılamaz.
YANLIŞ: 5! + 2! = 7! (Hayır!)
DOĞRU: Ortak paranteze alarak işlem yapılır.
ÖSYM TARZI SORU ÇÖZÜMLERİ
SORU 1: (9! - 8!) / 7! işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Hepsini en küçük olana (7!) benzet.
9! = 9 . 8 . 7!
8! = 8 . 7!
(9 . 8 . 7!) - (8 . 7!)
7! parantezinde -> 7! . (72 - 8) = 7! . 64
[ 7! . 64 ] / 7!
7! ifadeleri birbirini götürür.
Cevap: 64
SORU 2: (n+2)! / n! = 72 olduğuna göre, n kaçtır?
Çözümü Göster
Kural: Büyüğü (n+2)!, küçüğe n! kadar aç.
(n+2)! = (n+2) . (n+1) . n!
[ (n+2) . (n+1) . n! ] / n! = 72
n! ifadeleri sadeleşir.
(n+2) . (n+1) = 72
Hangi ardışık iki sayının çarpımı 72 eder?
9 ve 8. (Büyük olan 9, küçük olan 8).
n+2 = 9 => n = 7
Cevap: 7
SORU 3: (6! + 5!) / (4! + 3!) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Payı kendi içinde, paydayı kendi içinde en küçüğe benzet.
6! + 5! = (6 . 5!) + (1 . 5!) = 5! . (6+1) = 5! . 7
4! + 3! = (4 . 3!) + (1 . 3!) = 3! . (4+1) = 3! . 5
(5! . 7) / (3! . 5)
5! = 120 ve 3! = 6'dır.
(120 . 7) / (6 . 5) = 840 / 30 = 28
Cevap: 28
SORU 4: 93! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster
Taktik: Sayının içindeki 10 çarpanını arıyoruz. 10 = 2 x 5 olduğundan, belirleyici olan büyük asal sayı yani 5'e sürekli böleriz.
93 / 5 = 18 (Kalanı boşver, bölümü al).
18 sayısı hala 5'e bölünebiliyor.
18 / 5 = 3
3 sayısı 5'e bölünmez. İşlem bitti.
18 + 3 = 21
Cevap: 21 tane sıfır vardır.
SORU 5: 48! = 3n . A (A bir doğal sayı)
Olduğuna göre, n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Soru Ne Demek İstiyor?
48! sayısının içinde çarpan olarak kaç tane 3 vardır? (Sıfır bulma mantığıyla aynı, sadece 5 yerine 3'e böleceğiz).
48 / 3 = 16
16 / 3 = 5
5 / 3 = 1
1 / 3 (Bölünmez).
16 + 5 + 1 = 22
Cevap: n en çok 22 olabilir.
SORU 6: 35! = 15x . y (y bir doğal sayı)
Olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
⚠️ KRİTİK NOKTA: Taban (15) ASAL DEĞİL!
15 = 3 x 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
Kural şudur: Bileşik sayılarda, BÜYÜK OLAN ASAL ÇARPANA göre işlem yapılır. Çünkü büyük çarpan daha az bulunur ve sınırlayıcıdır.
35 / 5 = 7
7 / 5 = 1
1 / 5 (Bölünmez).
7 + 1 = 8
Cevap: x en çok 8 olabilir. (Sakın 15'e bölmeyin!)