İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 11: Bölüm 5 - İç İçe ve Sonsuz Kökler

MODÜL 11: BÖLÜM 5 - İÇ İÇE VE SONSUZ KÖKLER

"Matruşka Kökler ve Sonu Gelmeyen Sayılar!"

1. İç İçe Kökler (Matruşka Kuralı)

İç içe geçmiş kökler varsa, ortalığı sadeleştirmek için Kök Derecelerini Çarparız ve tek bir çatı yaparız. Ancak arada sayı varsa, önce o sayıyı içeri hapsetmeliyiz.

Arada Sayı Yoksa

Dereceler direkt çarpılıp tek kök haline getirilir.

3 √
4√x
=
12√x

(3 ile 4 çarpıldı, 12 oldu).

Arada Sayı Varsa

Aralıktaki sayı, önündeki kökün derecesini üzerine alarak (biletini keserek) en içeriye girer.

3 √ x
2√y
=
6√x2 . y

2. Özel Kök: "Muhteşem İkili Kuralı"

🔥 Sınavların Bankosu: A ± 2√B

İç içe iki kök var ve içerideki kökün önünde mutlaka ama mutlaka bir "2" sayısı varsa, bu bir şifredir!

√ A ± 2
√B

Şifre Çözücü: B sayısının öyle iki çarpanını (x, y) bulacaksın ki; çarpımları B'yi, toplamları A'yı verecek!

Sonra bu sayıları ayrı ayrı kök içine alıp aradaki işareti koyacaksın: √x ± √y (Önce daima BÜYÜK olan yazılır!)

3. Sonsuza Giden Kökler

Nokta nokta (...) ile gösterilen sonsuz köklerin sonucu aslında çok basittir.

Sonsuz Toplam ve Fark

İçerideki sayı ardışık iki sayının çarpımıysa (Örn: 12 = 4x3);

  • Arada (+) varsa cevap BÜYÜK sayıdır.
  • Arada (-) varsa cevap KÜÇÜK sayıdır.
√12 +
√12 + ...
= 4

Sonsuz Çarpım ve Bölüm

Kök derecesi ile oynuyoruz:

  • Çarpma: Kök derecesini 1 AZALT.
  • Bölme: Kök derecesini 1 ARTIR.
3√25 .
3√25 ...
=
2√25
= 5

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Temel İç İçe Kök
3 √
√ 64

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Arada sayı yok. Hemen dereceleri çarpalım.

  • Dışarıdaki derece: 3
  • İçerideki derece (yazılmayan): 2
  • Yeni Derece = 3 . 2 = 6

İfade şuna dönüştü:

6√64

Hangi sayının 6. kuvveti 64'tür? (26 = 64)

Cevap: 2

ORTA SORU 2: Sayıyı İçeri Taşıma
√ 2
3 √ 4

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözümü Göster

Önce ortadaki "2" sayısını, küp kökün (derecesi 3) içine almalıyız.

  • 2, içeri girerken bilet (üs olarak 3) alır. İçeri 23 yani 8 olarak girer.
  • İçeride zaten bir 4 vardı. Çarpışırlar: 8 . 4 = 32.
  • Artık kökler arasında sayı kalmadı. Dereceleri çarpalım: Dışarıda 2, içeride 3 var. (2 . 3 = 6).

Cevap:

6√32

ÖZEL KURAL SORU 3: Muhteşem İkili Kuralı
√ 8 + 2
√15

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

İçeride "2" var! Kuralı başlatabiliriz.

  • Bize çarpımları 15'i, toplamları 8'i veren iki sayı lazım.
  • 5 ve 3. (5x3 = 15) ve (5+3 = 8). Eşleşme sağlandı!
  • Bu sayıları ayrı ayrı kök içine alır, araya ana işareti (+) koyarız.

Cevap:

√5
+
√3

ZOR SORU 4: Gizli "2"yi Ortaya Çıkarma
√ 11 -
√72

ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster

Özel kuralı kullanmak istiyoruz ama içerideki kökün başında "2" yok! O 2'yi biz zorla dışarı çıkaracağız.

  • 72 sayısının içinde 4 çarpanı arayalım (Çünkü √4 dışarı 2 olarak çıkar).
  • 72 = 4 . 18
  • √72
    =
    √4 . 18
    = 2
    √18

İfadeyi tekrar yazalım:

√11 - 2
√18

Şimdi kuralı işletelim:

  • Çarpımları 18, toplamları 11 olan sayılar: 9 ve 2.
  • Önce büyük yazılır ve araya (-) konur:
    √9
    -
    √2

√9 tam karedir, dışarı 3 olarak çıkar.

Cevap: 3 -

√2

ZOR SORU 5: Sonsuzluk Denizi
√72 +
√72 + ...
+
3√16 .
3√16 ...

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

İki parçayı ayrı ayrı çözelim.

1. Parça (Sonsuz Toplam):

72 sayısı, ardışık iki sayının (8 ile 9'un) çarpımıdır.
Aradaki işaret (+) olduğu için BÜYÜK olanı seçeriz.
Birinci parçanın sonucu = 9.

2. Parça (Sonsuz Çarpım):

Sonsuz çarpmada kök derecesi 1 azaltılır.
Derece 3'tü, (3 - 1 = 2) yani Karekök oldu.

2√16
➡ İkinci parçanın sonucu = 4.

Toplamları: 9 + 4 = 13

YENİ NESİL / GİZEM SORU 6: Şifre Çözücü

Bir kaçış oyununda kasanın şifresini bulmak için Ahmet ve Burak'a iki ayrı ipucu verilmiştir.

  • Ahmet'in İpucu:
    √x +
    √x + ...
    = 5
  • Burak'ın İpucu: Kasanın şifresi
    √9 -
    √4x
     işleminin sonucudur.

Buna göre kasanın şifresi kaçtır?

Çözümü Göster

1. Aşama (Ahmet'in denklemi):
Sonsuz toplamlı bir kökün sonucu 5 çıkmış. Kurala göre bu 5 sayısı, x'i oluşturan ardışık iki çarpandan BÜYÜK olanıdır.
Demek ki ardışık çarpanlar 4 ve 5'tir.
O halde x sayısı: 4 . 5 = 20'dir.

2. Aşama (Burak'ın denklemi):
Şifre ifadesinde x yerine 20 yazalım.

√ 9 -
√4 . 20

Bu ifade şuna dönüşür:

√9 -
√80

Özel kuralı kullanmak için içerideki 80'in dışına bir "2" çıkarmalıyız. (80 = 4 . 20) ➡ Dışarı 2√20 çıkar.

√ 9 - 2
√20

Şimdi "Muhteşem İkili" kuralını işletelim:

  • Çarpımları 20, toplamları 9 olan iki sayı arıyoruz.
  • Bu sayılar 5 ve 4'tür. (5x4=20, 5+4=9).
  • Önce büyük olanı yazıp araya eksi koyarız:
    √5
    -
    √4

√4 dışarıya 2 olarak çıktığı için;

Şifre:

√5
- 2