MODÜL 16: BÖLÜM 3 - YIL KAVRAMI VE YAŞ ORTALAMASI
"Doğum Yılı Küçüldükçe Yaş Büyür, Ortalama İse Zamanla Akar!"
1. Doğum Yılı ve "Erken/Geç Doğma" Olayı
Bir kişinin yaşını bulmak için: İçinde Bulunulan Yıl - Doğum Yılı = Yaş formülünü kullanırız. Asıl kafa karıştıran kısım ise birinin "erken" veya "geç" doğmasıdır.
⏳ Erken Doğsaydı...
Eğer birisi 5 yıl erken doğsaydı (örneğin 2005 yerine 2000'de doğsaydı), dünyaya daha erken geldiği için 5 YAŞ DAHA BÜYÜK olurdu.
Taktik: Erken Doğmak = Yaşa Ekle (+)
⌛ Geç Doğsaydı...
Eğer birisi 3 yıl geç doğsaydı (örneğin 2000 yerine 2003'te doğsaydı), dünyaya daha geç geldiği için 3 YAŞ DAHA KÜÇÜK olurdu.
Taktik: Geç Doğmak = Yaştan Çıkar (-)
2. Yaş Ortalamasının Zamanla Dansı
Bölüm 2'de "Grubun yaşları toplamına, geçen yılı kişi sayısıyla çarpıp ekleriz" demiştik. Ancak ORTALAMADA buna gerek yoktur!
Grupta kaç kişi olursa olsun, aradan kaç yıl geçerse geçsin; Yaş ortalaması sadece geçen yıl kadar artar veya azalır!
Örn: 50 kişilik bir grubun bugünkü yaş ortalaması 20 ise, 3 yıl sonraki yaş ortalaması kesinlikle 23'tür. (Kişi sayısıyla çarpmaya gerek yok, çünkü herkes 3 yaş yaşlandı, ortalama da 3 yaş arttı).
Eğer gruba katılan yeni kişinin yaşı, grubun yaş ortalamasına EŞİT ise grubun ortalaması DEĞİŞMEZ.
Katılan kişinin yaşı ortalamadan büyükse ortalama ARTAR, küçükse AZALIR.
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
5 kişilik bir ailenin bugünkü yaş ortalaması 22'dir.
Buna göre bu ailenin 4 yıl sonraki yaş ortalaması ve 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
- Ortalama (Çok Kolay): Yaş ortalaması sadece geçen yıl kadar artar. 5 kişi olmalarının bir önemi yoktur.
Yeni Ortalama = 22 + 4 = 26 olur. - Yaşları Toplamı: Bugünkü yaşları toplamını bulalım: (Ortalama x Kişi Sayısı)
Bugün Toplam = 22 x 5 = 110.
4 yıl sonra 5 kişinin her biri 4 yaş büyüyeceği için gruba (5 x 4 = 20) yaş eklenecektir.
Yeni Toplam = 110 + 20 = 130 olur. (Ya da direkt Yeni Ortalama x 5 = 26 x 5 = 130).
Kemal 3 yıl erken, Merve ise 4 yıl geç doğmuş olsaydı ikisinin yaşları eşit olacaktı.
İkisinin bugünkü yaşları toplamı 35 olduğuna göre, Merve bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Kuralları hatırlayalım: Erken doğmak yaşa (+), geç doğmak yaşa (-) yazar.
- Kemal 3 yıl erken doğsaydı: Yaşı K + 3 olurdu.
- Merve 4 yıl geç doğsaydı: Yaşı M - 4 olurdu.
Soru, bu durumda yaşlarının eşit olacağını söylüyor:
K'yı sağa, -4'ü sola atalım: M - K = 7 (Demek ki Merve, Kemal'den 7 yaş büyüktür!)
Soru ayrıca yaşları toplamının 35 olduğunu vermiş:
+ M - K = 7
----------------
2M = 42 ➡ M = 21
Cevap: Merve bugün 21 yaşındadır. (Kemal ise 14).
Bir arkadaş grubunun yaş ortalaması 20'dir.
Bu gruba yaşı 36 olan biri katıldığında, grubun yeni yaş ortalaması 22 olmaktadır. Buna göre başlangıçta grupta kaç kişi vardı?
Çözümü Göster
Başlangıçtaki kişi sayısına x diyelim.
- Eski Durum: x kişi var, ortalama 20.
Eski Toplam Yaş = 20x - Yeni Durum: Gruba 36 yaşında biri eklendi. Toplam Yaş = 20x + 36 oldu.
- Yeni Kişi Sayısı: Grupta artık (x + 1) kişi var.
Yeni ortalamayı (Yeni Toplam / Yeni Kişi) 22'ye eşitleyelim:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
- 20x + 36 = 22 . (x + 1)
- 20x + 36 = 22x + 22
- Bilinenler bir tarafa: 36 - 22 = 22x - 20x
- 14 = 2x ➡ x = 7
Cevap: Başlangıçta grupta 7 kişi vardı.
Ahmet 2000 yılında, kardeşi Ali ise 2008 yılında doğmuştur.
Buna göre, hangi yılda ikisinin yaşları toplamı 50 olur?
Çözümü Göster
Öncelikle doğum yıllarından aralarındaki Sabit Yaş Farkını bulalım:
Yaş Farkı = 2008 - 2000 = 8 (Ahmet 8 yaş daha büyüktür).
O bahsi geçen gizemli yıla gidelim. O yılda;
- Ali = x yaşında olsun.
- Ahmet (Büyük olduğu için) = x + 8 yaşında olur.
O yılda yaşları toplamının 50 olduğunu biliyoruz:
2x + 8 = 50 ➡ 2x = 42 ➡ x = 21
Demek ki bu olay Ali 21 yaşındayken gerçekleşiyor. Ali 2008 yılında doğduğuna göre, onun 21 yaşına girdiği yılı bulalım:
Cevap: 2029 yılında gerçekleşir.
4 kişilik bir ailenin bugünkü yaşları toplamı 110'dur.
5 yıl önce bu ailenin yaş ortalaması 23'tür.
Buna göre, ailenin en küçük çocuğu bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Bu çok meşhur tuzağı adım adım çözelim:
- 5 yıl önce ailenin yaş ortalaması 23'müş. Demek ki o zamanlar aile 3 kişiymiş.
- 5 yıl önceki Toplam = 3 kişi x 23 = 69'dur. (Anne, baba ve büyük çocuk).
Bu 3 kişinin bugünkü yaşları toplamını bulalım:
- 3 kişi, 5 yılda toplam (3 x 5) = 15 yaş büyür.
- Bugünkü toplamları = 69 + 15 = 84'tür.
Ancak soru bize ailenin (4 kişi hallerinin) bugünkü toplamının 110 olduğunu söylüyor.
Aralarındaki bu fark, sonradan aileye katılan küçük çocuğun bugünkü yaşıdır!
BİR DAKİKA! Mantık hatası oldu.
Çocuk 5 yıl önce doğmadıysa yaşı 5'ten küçük olmalıydı. Nasıl 26 çıktı?
İşte bu yüzden "5 yıl önce aile 3 kişiydi" varsayımı burada da çöktü. Başka bir şey var!
Gerçek Çözüm: Aile 5 yıl önce de 4 kişi olmalı ama demek ki ortalamaya sıfır veya farklı etki eden bir durum var. Doğrusu şu: Çocuğun yaşı x olsun.
- Bugün Toplam: 110.
- 5 yıl önce 4 kişi yaşasaydı, her biri 5 yaş düşeceği için (4 x 5 = 20) eksilirdi: 110 - 20 = 90 olurdu.
- Ancak 5 yıl önce ortalama 23 ise toplam 4 x 23 = 92'dir!
- Nasıl olur da formülle 90 olması gereken sayı 92 çıkar? Çünkü çocuk 5 yıldan DAHA AZ yaşadı. Aslında o 5 yıllık "geriye sarışta", çocuk zaten sıfırlandıktan sonra geriye gidemeyeceği için toplamı eksiltemedi.
- Fark: 92 - 90 = 2. Demek ki çocuk o 5 yılın sadece 3 yılında yaşamış! Yani çocuk bugün 3 yaşındadır.
Sahaya çıkan 11 kişilik bir futbol takımının yaş ortalaması 26'dır.
Maç sırasında kırmızı kart gören bir oyuncu oyundan atıldığında, sahada kalan 10 oyuncunun yaş ortalaması 25.5 oluyor.
Buna göre, kırmızı kart gören oyuncu kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Ortalama üzerinden değil, daima TOPLAM YAŞ üzerinden ilerleyeceğiz!
- İlk Durum (11 kişi): Ortalama 26.
Takımın İlk Yaş Toplamı = 11 x 26 = 286 - İkinci Durum (10 kişi): Kırmızı karttan sonra ortalama 25.5.
Takımın Yeni Yaş Toplamı = 10 x 25.5 = 255
İki toplam arasındaki fark, sahadan ayrılan (kırmızı kart gören) oyuncunun yaşıdır.
Cevap: Kırmızı kart gören oyuncu 31 yaşındadır.
MODÜL 16: BÖLÜM 3 - YIL KAVRAMI VE YAŞ ORTALAMASI
"Doğum Yılı Küçüldükçe Yaş Büyür, Ortalama İse Zamanla Akar!"
1. Doğum Yılı ve "Erken/Geç Doğma" Olayı
Bir kişinin yaşını bulmak için: İçinde Bulunulan Yıl - Doğum Yılı = Yaş formülünü kullanırız. Asıl kafa karıştıran kısım ise birinin "erken" veya "geç" doğmasıdır.
⏳ Erken Doğsaydı...
Eğer birisi 5 yıl erken doğsaydı (örneğin 2005 yerine 2000'de doğsaydı), dünyaya daha erken geldiği için 5 YAŞ DAHA BÜYÜK olurdu.
Taktik: Erken Doğmak = Yaşa Ekle (+)
⌛ Geç Doğsaydı...
Eğer birisi 3 yıl geç doğsaydı (örneğin 2000 yerine 2003'te doğsaydı), dünyaya daha geç geldiği için 3 YAŞ DAHA KÜÇÜK olurdu.
Taktik: Geç Doğmak = Yaştan Çıkar (-)
2. Yaş Ortalamasının Zamanla Dansı
Bölüm 2'de "Grubun yaşları toplamına, geçen yılı kişi sayısıyla çarpıp ekleriz" demiştik. Ancak ORTALAMADA buna gerek yoktur!
Grupta kaç kişi olursa olsun, aradan kaç yıl geçerse geçsin; Yaş ortalaması sadece geçen yıl kadar artar veya azalır!
Örn: 50 kişilik bir grubun bugünkü yaş ortalaması 20 ise, 3 yıl sonraki yaş ortalaması kesinlikle 23'tür. (Kişi sayısıyla çarpmaya gerek yok, çünkü herkes 3 yaş yaşlandı, ortalama da 3 yaş arttı).
Eğer gruba katılan yeni kişinin yaşı, grubun yaş ortalamasına EŞİT ise grubun ortalaması DEĞİŞMEZ.
Katılan kişinin yaşı ortalamadan büyükse ortalama ARTAR, küçükse AZALIR.
3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
5 kişilik bir ailenin bugünkü yaş ortalaması 22'dir.
Buna göre bu ailenin 4 yıl sonraki yaş ortalaması ve 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
- Ortalama (Çok Kolay): Yaş ortalaması sadece geçen yıl kadar artar. 5 kişi olmalarının bir önemi yoktur.
Yeni Ortalama = 22 + 4 = 26 olur. - Yaşları Toplamı: Bugünkü yaşları toplamını bulalım: (Ortalama x Kişi Sayısı)
Bugün Toplam = 22 x 5 = 110.
4 yıl sonra 5 kişinin her biri 4 yaş büyüyeceği için gruba (5 x 4 = 20) yaş eklenecektir.
Yeni Toplam = 110 + 20 = 130 olur. (Ya da direkt Yeni Ortalama x 5 = 26 x 5 = 130).
Kemal 3 yıl erken, Merve ise 4 yıl geç doğmuş olsaydı ikisinin yaşları eşit olacaktı.
İkisinin bugünkü yaşları toplamı 35 olduğuna göre, Merve bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Kuralları hatırlayalım: Erken doğmak yaşa (+), geç doğmak yaşa (-) yazar.
- Kemal 3 yıl erken doğsaydı: Yaşı K + 3 olurdu.
- Merve 4 yıl geç doğsaydı: Yaşı M - 4 olurdu.
Soru, bu durumda yaşlarının eşit olacağını söylüyor:
K'yı sağa, -4'ü sola atalım: M - K = 7 (Demek ki Merve, Kemal'den 7 yaş büyüktür!)
Soru ayrıca yaşları toplamının 35 olduğunu vermiş:
+ M - K = 7
----------------
2M = 42 ➡ M = 21
Cevap: Merve bugün 21 yaşındadır. (Kemal ise 14).
Bir arkadaş grubunun yaş ortalaması 20'dir.
Bu gruba yaşı 36 olan biri katıldığında, grubun yeni yaş ortalaması 22 olmaktadır. Buna göre başlangıçta grupta kaç kişi vardı?
Çözümü Göster
Başlangıçtaki kişi sayısına x diyelim.
- Eski Durum: x kişi var, ortalama 20.
Eski Toplam Yaş = 20x - Yeni Durum: Gruba 36 yaşında biri eklendi. Toplam Yaş = 20x + 36 oldu.
- Yeni Kişi Sayısı: Grupta artık (x + 1) kişi var.
Yeni ortalamayı (Yeni Toplam / Yeni Kişi) 22'ye eşitleyelim:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
- 20x + 36 = 22 . (x + 1)
- 20x + 36 = 22x + 22
- Bilinenler bir tarafa: 36 - 22 = 22x - 20x
- 14 = 2x ➡ x = 7
Cevap: Başlangıçta grupta 7 kişi vardı.
Ahmet 2000 yılında, kardeşi Ali ise 2008 yılında doğmuştur.
Buna göre, hangi yılda ikisinin yaşları toplamı 50 olur?
Çözümü Göster
Öncelikle doğum yıllarından aralarındaki Sabit Yaş Farkını bulalım:
Yaş Farkı = 2008 - 2000 = 8 (Ahmet 8 yaş daha büyüktür).
O bahsi geçen gizemli yıla gidelim. O yılda;
- Ali = x yaşında olsun.
- Ahmet (Büyük olduğu için) = x + 8 yaşında olur.
O yılda yaşları toplamının 50 olduğunu biliyoruz:
2x + 8 = 50 ➡ 2x = 42 ➡ x = 21
Demek ki bu olay Ali 21 yaşındayken gerçekleşiyor. Ali 2008 yılında doğduğuna göre, onun 21 yaşına girdiği yılı bulalım:
Cevap: 2029 yılında gerçekleşir.
4 kişilik bir ailenin bugünkü yaşları toplamı 110'dur.
5 yıl önce bu ailenin yaş ortalaması 23'tür.
Buna göre, ailenin en küçük çocuğu bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Bu çok meşhur tuzağı adım adım çözelim:
- 5 yıl önce ailenin yaş ortalaması 23'müş. Demek ki o zamanlar aile 3 kişiymiş.
- 5 yıl önceki Toplam = 3 kişi x 23 = 69'dur. (Anne, baba ve büyük çocuk).
Bu 3 kişinin bugünkü yaşları toplamını bulalım:
- 3 kişi, 5 yılda toplam (3 x 5) = 15 yaş büyür.
- Bugünkü toplamları = 69 + 15 = 84'tür.
Ancak soru bize ailenin (4 kişi hallerinin) bugünkü toplamının 110 olduğunu söylüyor.
Aralarındaki bu fark, sonradan aileye katılan küçük çocuğun bugünkü yaşıdır!
BİR DAKİKA! Mantık hatası oldu.
Çocuk 5 yıl önce doğmadıysa yaşı 5'ten küçük olmalıydı. Nasıl 26 çıktı?
İşte bu yüzden "5 yıl önce aile 3 kişiydi" varsayımı burada da çöktü. Başka bir şey var!
Gerçek Çözüm: Aile 5 yıl önce de 4 kişi olmalı ama demek ki ortalamaya sıfır veya farklı etki eden bir durum var. Doğrusu şu: Çocuğun yaşı x olsun.
- Bugün Toplam: 110.
- 5 yıl önce 4 kişi yaşasaydı, her biri 5 yaş düşeceği için (4 x 5 = 20) eksilirdi: 110 - 20 = 90 olurdu.
- Ancak 5 yıl önce ortalama 23 ise toplam 4 x 23 = 92'dir!
- Nasıl olur da formülle 90 olması gereken sayı 92 çıkar? Çünkü çocuk 5 yıldan DAHA AZ yaşadı. Aslında o 5 yıllık "geriye sarışta", çocuk zaten sıfırlandıktan sonra geriye gidemeyeceği için toplamı eksiltemedi.
- Fark: 92 - 90 = 2. Demek ki çocuk o 5 yılın sadece 3 yılında yaşamış! Yani çocuk bugün 3 yaşındadır.
Sahaya çıkan 11 kişilik bir futbol takımının yaş ortalaması 26'dır.
Maç sırasında kırmızı kart gören bir oyuncu oyundan atıldığında, sahada kalan 10 oyuncunun yaş ortalaması 25.5 oluyor.
Buna göre, kırmızı kart gören oyuncu kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Ortalama üzerinden değil, daima TOPLAM YAŞ üzerinden ilerleyeceğiz!
- İlk Durum (11 kişi): Ortalama 26.
Takımın İlk Yaş Toplamı = 11 x 26 = 286 - İkinci Durum (10 kişi): Kırmızı karttan sonra ortalama 25.5.
Takımın Yeni Yaş Toplamı = 10 x 25.5 = 255
İki toplam arasındaki fark, sahadan ayrılan (kırmızı kart gören) oyuncunun yaşıdır.
Cevap: Kırmızı kart gören oyuncu 31 yaşındadır.