MODÜL 23: BÖLÜM 5 - İŞLEM (OPERATÖRLER)
"Matematiksel Şeflerin Gizli Yemek Tarifleri"
1. İşlem Nedir? (Sembollerin Dili)
Matematikte +, -, x, ÷ gibi bildiğimiz 4 temel işlemin dışında, kendi kurallarımızı yazdığımız "Özel İşlemler" vardır. Bunlar genellikle ★, Δ, □, ⊗ gibi sembollerle gösterilir.
Sembolün hiçbir matematiksel anlamı yoktur, o sadece kuralı yazan şefin "Logosudur". Önemli olan sembolün sağındaki ve solundaki sayıların nereye oturacağıdır.
Bu kural bize şunu söylüyor: "Yıldız sembolünü gördüğünde; soldaki sayının (a) 2 katını al, sağdaki sayının (b) 3 katını al, bunları topla ve 1 çıkar."
- 4 ★ 5 sorulursa ➡ a yerine 4, b yerine 5 yazılır.
- Sonuç = 2(4) + 3(5) - 1 ➡ 8 + 15 - 1 = 22 olur.
2. Şartlı (Parçalı) İşlemler
Bazen şef yemeği kime yaptığına göre tarifi değiştirir. "Eğer sayılar şöyleyse üstteki kuralı, böyleyse alttaki kuralı kullan" der.
x Δ y işlemi şu şekilde tanımlansın:
- ➡ Eğer x > y ise : x + y
- ➡ Eğer x ≤ y ise : x . y (Çarpım)
Örnek: 5 Δ 2 kaçtır? (Sol taraf daha büyük olduğu için üstteki kural çalışır: 5 + 2 = 7)
Örnek: 3 Δ 4 kaçtır? (Sağ taraf daha büyük olduğu için alttaki kural çalışır: 3 . 4 = 12)
3. İşlemin Özel Karakterleri
İşlem dünyasında bazı sayıların özel güçleri vardır:
- Etkisiz (Birim) Eleman: Hayalet gibidir. Kime dokunursa dokunsun sonucu değiştirmez. (Örneğin çarpmadaki 1, toplamadaki 0 gibi). Genelde "e" harfi ile gösterilir.
Kuralı: a ★ e = a - Yutan Eleman: Kara delik gibidir. Kime dokunursa dokunsun sonucu kendisine çevirir. (Örneğin çarpmadaki 0 gibi).
- Ters Eleman: Panzehirdir. Bir sayıyı, tersi ile işleme sokarsanız sonuç daima "Etkisiz Eleman (e)" çıkar.
4. Soru Çözümleri (Çıkmış Soru Tipleri)
Gerçel sayılar kümesinde ⊗ işlemi,
x ⊗ y = x² - 2y + 3
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre 3 ⊗ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İşlem sembolünün (⊗) solunda x, sağında y var.
Bizden istenen 3 ⊗ 4.
Demek ki x = 3 ve y = 4 alacağız. Kuralda yerine yazalım:
Sonuç = (3)² - 2(4) + 3
Sonuç = 9 - 8 + 3
Sonuç = 1 + 3 = 4
x Δ y = 2x + y
x □ y = x . y - 1
işlemleri tanımlanıyor. Buna göre (2 Δ 3) □ 4 kaçtır?
Çözümü Göster
Matematiğin altın kuralı: Önce Parantez İçi!
1. Adım: Önce (2 Δ 3) işlemini yapalım. Burada Δ kuralını (2x + y) kullanacağız.
x=2, y=3 için ➡ 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7.
2. Adım: Artık parantezin içi 7 oldu. Soru şuna dönüştü: 7 □ 4
3. Adım: Şimdi □ kuralını (x . y - 1) kullanacağız.
x=7, y=4 için ➡ (7 . 4) - 1 = 28 - 1 = 27
Cevap: 27
a ★ b = a . b - 3a + 2
işlemine göre 4 ★ m = 18 ise, m kaçtır?
Çözümü Göster
Korkmaya gerek yok, yine aynı mantık! Sadece bu sefer sonucu biliyoruz, malzemelerden birini arıyoruz.
Sol koltuk a = 4, sağ koltuk b = m.
Kuralda yerine yazalım ve 18'e eşitleyelim:
4 . m - 3(4) + 2 = 18
4m - 12 + 2 = 18
4m - 10 = 18
Eksi 10'u karşıya artı olarak atalım:
4m = 28 ➡ Her iki tarafı 4'e bölelim ➡ m = 7
A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı ⊕ işlemi yandaki tablo ile verilmiştir.
| ⊕ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Buna göre (2 ⊕ 3) ⊕ (1 ⊕ 4) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
1. Parantez (2 ⊕ 3): Soldan 2'yi, üstten 3'ü bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 1'dir.
2. Parantez (1 ⊕ 4): Soldan 1'i, üstten 4'ü bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 1'dir.
Soru şuna dönüştü: 1 ⊕ 1
Son Adım: Soldan 1'i, üstten 1'i bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 2'dir.
Cevap: 2
MODÜL 23: BÖLÜM 5 - İŞLEM (OPERATÖRLER)
"Matematiksel Şeflerin Gizli Yemek Tarifleri"
1. İşlem Nedir? (Sembollerin Dili)
Matematikte +, -, x, ÷ gibi bildiğimiz 4 temel işlemin dışında, kendi kurallarımızı yazdığımız "Özel İşlemler" vardır. Bunlar genellikle ★, Δ, □, ⊗ gibi sembollerle gösterilir.
Sembolün hiçbir matematiksel anlamı yoktur, o sadece kuralı yazan şefin "Logosudur". Önemli olan sembolün sağındaki ve solundaki sayıların nereye oturacağıdır.
Bu kural bize şunu söylüyor: "Yıldız sembolünü gördüğünde; soldaki sayının (a) 2 katını al, sağdaki sayının (b) 3 katını al, bunları topla ve 1 çıkar."
- 4 ★ 5 sorulursa ➡ a yerine 4, b yerine 5 yazılır.
- Sonuç = 2(4) + 3(5) - 1 ➡ 8 + 15 - 1 = 22 olur.
2. Şartlı (Parçalı) İşlemler
Bazen şef yemeği kime yaptığına göre tarifi değiştirir. "Eğer sayılar şöyleyse üstteki kuralı, böyleyse alttaki kuralı kullan" der.
x Δ y işlemi şu şekilde tanımlansın:
- ➡ Eğer x > y ise : x + y
- ➡ Eğer x ≤ y ise : x . y (Çarpım)
Örnek: 5 Δ 2 kaçtır? (Sol taraf daha büyük olduğu için üstteki kural çalışır: 5 + 2 = 7)
Örnek: 3 Δ 4 kaçtır? (Sağ taraf daha büyük olduğu için alttaki kural çalışır: 3 . 4 = 12)
3. İşlemin Özel Karakterleri
İşlem dünyasında bazı sayıların özel güçleri vardır:
- Etkisiz (Birim) Eleman: Hayalet gibidir. Kime dokunursa dokunsun sonucu değiştirmez. (Örneğin çarpmadaki 1, toplamadaki 0 gibi). Genelde "e" harfi ile gösterilir.
Kuralı: a ★ e = a - Yutan Eleman: Kara delik gibidir. Kime dokunursa dokunsun sonucu kendisine çevirir. (Örneğin çarpmadaki 0 gibi).
- Ters Eleman: Panzehirdir. Bir sayıyı, tersi ile işleme sokarsanız sonuç daima "Etkisiz Eleman (e)" çıkar.
4. Soru Çözümleri (Çıkmış Soru Tipleri)
Gerçel sayılar kümesinde ⊗ işlemi,
x ⊗ y = x² - 2y + 3
şeklinde tanımlanıyor. Buna göre 3 ⊗ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İşlem sembolünün (⊗) solunda x, sağında y var.
Bizden istenen 3 ⊗ 4.
Demek ki x = 3 ve y = 4 alacağız. Kuralda yerine yazalım:
Sonuç = (3)² - 2(4) + 3
Sonuç = 9 - 8 + 3
Sonuç = 1 + 3 = 4
x Δ y = 2x + y
x □ y = x . y - 1
işlemleri tanımlanıyor. Buna göre (2 Δ 3) □ 4 kaçtır?
Çözümü Göster
Matematiğin altın kuralı: Önce Parantez İçi!
1. Adım: Önce (2 Δ 3) işlemini yapalım. Burada Δ kuralını (2x + y) kullanacağız.
x=2, y=3 için ➡ 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7.
2. Adım: Artık parantezin içi 7 oldu. Soru şuna dönüştü: 7 □ 4
3. Adım: Şimdi □ kuralını (x . y - 1) kullanacağız.
x=7, y=4 için ➡ (7 . 4) - 1 = 28 - 1 = 27
Cevap: 27
a ★ b = a . b - 3a + 2
işlemine göre 4 ★ m = 18 ise, m kaçtır?
Çözümü Göster
Korkmaya gerek yok, yine aynı mantık! Sadece bu sefer sonucu biliyoruz, malzemelerden birini arıyoruz.
Sol koltuk a = 4, sağ koltuk b = m.
Kuralda yerine yazalım ve 18'e eşitleyelim:
4 . m - 3(4) + 2 = 18
4m - 12 + 2 = 18
4m - 10 = 18
Eksi 10'u karşıya artı olarak atalım:
4m = 28 ➡ Her iki tarafı 4'e bölelim ➡ m = 7
A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı ⊕ işlemi yandaki tablo ile verilmiştir.
| ⊕ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Buna göre (2 ⊕ 3) ⊕ (1 ⊕ 4) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
1. Parantez (2 ⊕ 3): Soldan 2'yi, üstten 3'ü bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 1'dir.
2. Parantez (1 ⊕ 4): Soldan 1'i, üstten 4'ü bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 1'dir.
Soru şuna dönüştü: 1 ⊕ 1
Son Adım: Soldan 1'i, üstten 1'i bul. Kesiştikleri yerdeki sayı 2'dir.
Cevap: 2