İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 3: Bölüm 4 - Kalan Bulma Yöntemleri

MODÜL 3: BÖLÜM 4 - KALAN BULMA YÖNTEMLERİ

"Büyük Sayılarla Kavga Etme, Kalanlarla Dost Ol"

🔑 ALTIN KURAL: ASIL SAYIYA İHTİYACIN YOK!

Bölme işleminde kalan bulmak için sayının kendisiyle işlem yapmak zorunda değilsin. Sayıların KALANLARI ile işlem yapabilirsin.

  • (A + B)'nin kalanı = (A'nın kalanı + B'nin kalanı)
  • (A . B)'nin kalanı = (A'nın kalanı . B'nin kalanı)
  • (An)'nin kalanı = (A'nın kalanı)n

1. Negatif Kalan Olmaz!

⚠️ KRİTİK UYARI

Matematikte bölme işleminde kalan negatif olamaz. Ancak işlem yaparken (örneğin çıkarma işleminde) sonucu negatif bulabilirsin.
Çözüm: Sonuç pozitif olana kadar üzerine BÖLEN SAYIYI EKLE.

Örnek: Bir sayının 7 ile bölümünden kalan -2 çıktıysa;
Kalan = -2 + 7 = 5'tir.

2. Büyük Üslü Sayıların Kalanı (Periyot Bulma)

Sayıların kuvvetleri alındıkça kalanlar belli bir düzende tekrar eder (döngüye girer). Bu mantığı anlamak için saatleri düşünebiliriz; her 12 saatte bir başa döneriz. Modüler aritmetikte de kalanlar bir çember gibi döner.

Yöntem:

  1. Sayının 1. kuvvetinden başlayarak kalanları bul.
  2. Kalan 1'i (veya tekrar eden ilk sayıyı) bulduğunda dur.
  3. Kaç adımda başa döndüğünü (periyodu) bul.
  4. İstenen kuvveti periyoda böl, kalana bak.

3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri

SORU 1:

x sayısının 9 ile bölümünden kalan 4,
y sayısının 9 ile bölümünden kalan 7'dir.

Buna göre, (x . y + x2) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Sayıların yerine kalanları yaz x yerine 4, y yerine 7 yazabiliriz.
Adım 2: İşlemi Yap (4 . 7) + (42)
= 28 + 16
= 44
Adım 3: Sonucu 9'a Böl 44'ün 9 ile bölümünden kalan:
44 ÷ 9 → (4 x 9 = 36) → 44 - 36 = 8'dir.
SORU 2:

2023 sayısının 5 ile bölümünden kalan x,
1902 sayısının 5 ile bölümünden kalan y'dir.

Buna göre, (y - x)3 ifadesinin 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Kalanları Bul • 2023 (Son rakam 3) → x = 3
• 1902 (Son rakam 2) → y = 2
Adım 2: İşlemi Yap (2 - 3)3 = (-1)3 = -1
Adım 3: Negatif Kalanı Düzelt Bulduğumuz sonuç -1. Bölen sayı 5 olduğu için ekleme yapıyoruz.
-1 + 5 = 4
SORU 3:

2102 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Döngüyü Yakala (Mod 5'e göre) 21 = 2 (Kalan 2)
22 = 4 (Kalan 4)
23 = 8 → 8 ÷ 5 = Kalan 3
24 = 16 → 16 ÷ 5 = Kalan 1 ✅ (1'i buldun, DUR!)
Adım 2: Periyodu Belirle Her 4 adımda bir başa dönüyor (Kalan 1 oldu).
Periyot = 4.
Adım 3: Üssü Periyoda Böl Üs = 102.
102 ÷ 4 işleminden kalan 2'dir.
Adım 4: Kalanı Kullan Kalan 2 olduğu için döngüdeki 2. adıma bakıyoruz.
2. adımda kalan neydi? → 4.
DİKKAT: Eğer 102 ÷ 4 işleminden kalan 0 olsaydı (tam bölünseydi), periyodun son adımı olan 4. adımı (yani sonucu 1) cevap olarak alacaktık.