MODÜL 15: BÖLÜM 2 - KALANI PAYLAŞTIRMA
"Kelimelere Dikkat: Bütünden mi Yiyoruz, Kalandan mı?"
Aşağıdaki iki cümleyi dikkatlice oku, çünkü çözüm yöntemleri tamamen farklıdır:
- "Maaşının 1/3'ünü kiraya, 1/4'ünü faturaya..." ➡ Kalan demediği için ikisi de ANA MAAŞ üzerinden hesaplanır.
- "Maaşının 1/3'ünü kiraya, KALANININ 1/4'ünü faturaya..." ➡ Burada kirayı ödedikten sonra elimizde kalan parayı bulup, onun 1/4'ünü almalıyız!
Çözüm İçin İki Efsane Taktik
Taktik 1: EKOK (Değer Verme) Yöntemi
Kesir problemlerinin vazgeçilmezidir. Sorudaki tüm paydaları çarp (veya EKOK'unu al) ve bütüne o değeri ver (Örn: 12x). Sonra sırayla harca ve kalanı bularak ilerle.
(En garanti, en az hata yapılan yöntemdir).
Taktik 2: Kalan Kesirleri Çarpma Yöntemi
Sürekli "kalanının, kalanının, kalanının" diyorsa ve en sondaki miktarı vermişse saniyeler içinde çözer.
Örn: 1/3'ü harcanırsa geriye 2/3'ü kalır. Tüm "kalan" kesirleri ana parayla çarp, sonuca eşitle!
Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Ali parasının önce
Geriye 20 TL parası kaldığına göre, Ali'nin başlangıçtaki parası kaç TL'dir?
Çözümü Göster
1. YOL (Değer Verme - Önerilen):
- Paydalar 3 ve 2. Çarpımları 6. Ali'nin parasına 6x diyelim.
- 1. Harcama: 6x'in 1/3'ü = 2x harcadı.
- KALAN PARA: 6x - 2x = 4x kaldı! (İşte burası çok önemli).
- 2. Harcama: Kalanın (4x'in) 1/2'si = 2x daha harcadı.
- Son Kalan: 4x'ten 2x daha harcayınca geriye 2x kaldı.
Soruda kalan paranın 20 TL olduğu söylenmiş: 2x = 20 ➡ x = 10
Başlangıçtaki para = 6x = 6 . 10 = 60 TL.
2. YOL (Hızlı Kesir Çarpımı):
- 1/3'ü harcanırsa, geriye 2/3'ü kalır.
- 1/2'si harcanırsa, geriye 1/2'si kalır.
Çarpma yapıp 2'leri sadeleştirirsek: Para/3 = 20 ➡ Para = 60 TL.
Merve bir kitabın önce
Okuması gereken 30 sayfası kaldığına göre, kitap toplam kaç sayfadır?
Çözümü Göster
Sürekli "Kalan kısmın" dediği için Hızlı Çarpma Taktiğini kullanmak çok pratiktir. Kalan kesirleri bulalım:
- 1/4'ünü okuduysa ➡ Geriye 3/4 kalır.
- 1/3'ünü okuduysa ➡ Geriye 2/3 kalır.
- 1/2'sini okuduysa ➡ Geriye 1/2 kalır.
Kitabın tamamına "X" diyelim ve art arda çarpalım:
Pay kısmındaki (3 x 2 x 1 = 6) ile payda kısmındaki (4 x 3 x 2 = 24) sadeleşir.
İçler dışlar çarpımı: X = 30 x 4 = 120 sayfa.
Bir memur maaşının
Geriye 1400 TL parası kaldığına göre, kiraya kaç TL vermiştir?
Çözümü Göster
Burada hem "Kalanının" hem de "Tüm maaşının" ifadeleri iç içe girmiş. O yüzden 1. Taktik (EKOK) en güvenlisidir.
Paydalar: 5, 3 ve 6. Bunların ortak katı 30'dur. Maaşın tamamına 30x diyelim.
- Kira: 30x'in 2/5'i = 12x (Maaştan 12x gitti. Geriye 18x KALDI).
- Faturalar: KALAN PARANIN (18x'in) 1/3'ü = 6x (18x'ten 6x daha gitti. Geriye 12x KALDI).
- Mutfak: TÜM MAAŞIN (30x'in) 1/6'sı = 5x (Cebimizdeki 12x'ten 5x daha verdik).
Son durumda cebimizde kalan para: 12x - 5x = 7x kalır.
Soruda kalan paranın 1400 TL olduğu söylenmiş:
7x = 1400 ➡ x = 200
Soru bizden Kirayı (12x) istiyor:
Kira = 12 . 200 = 2400 TL.
Can cebindeki paranın önce
Son durumda cebinde 40 TL kaldığına göre başlangıçta kaç TL parası vardır?
Çözümü Göster
İşin içine "+20 TL" gibi net bir sayı girince "Hızlı Çarpma" taktiği işe yaramaz. Adım adım denklemi kurmalıyız.
Paydalar 4 ve 3. Tüm paraya 12x diyelim.
- 1. Aşama: 12x'in 1/4'ünü harcadı = 3x harcadı. (Kalan: 9x)
- 2. Aşama: 20 TL daha harcadı. (Kalan: 9x - 20) [İşte yeni kalanımız bu!]
- 3. Aşama: Kalanın 1/3'ünü harcadı. Bir şeyin 1/3'ünü harcarsan geriye 2/3'ü kalır. Bize kalan (40 TL) verildiği için direkt kalanı eşitleyelim.
Denklem: Elimizdeki (9x - 20)'nin 2/3'ü, 40 TL'ye eşittir.
Karşıdaki 40'ı, paydaki 2 ile sadeleştirelim (20 kalır). İçler dışlar çarpımı yapalım:
9x - 20 = 20 . 3
9x - 20 = 60
9x = 80
Bizden "Başlangıçtaki Para" yani 12x isteniyor. Orantı kurabiliriz:
9x = 80 ise, x = 80/9'dur. Toplam Para = 12 . (80/9)
Sadeleştirirsek (3'e böl): 4 . (80/3) = 320 / 3 TL. (ÖSYM bazen bu şekilde rasyonel tam çıkmayan sonuçlar vererek sizin işleminize güvenip güvenmediğinizi test eder).
Bir su deposundaki suyun önce
Son olarak depoya 20 litre su eklenince depo, başlangıçtaki doluluk oranının
Buna göre başlangıçta depoda kaç litre su vardır?
Çözümü Göster
Paydalara bakalım: 3, 4 ve 6. Ortak katları 12. Başlangıçtaki suya 12x diyelim.
- 1. Kullanım: 12x'in 1/3'ü = 4x kullanıldı. (Geriye 8x KALDI).
- 2. Kullanım: KALANIN (8x'in) 1/4'ü = 2x daha kullanıldı. (Geriye 6x KALDI).
- Ekleme: Kalan 6x'in üzerine 20 Litre su eklendi: 6x + 20 oldu.
Soru diyor ki, bu son durum (6x + 20), başlangıçtaki suyun (12x'in) 5/6'sına eşittir.
12x'in 5/6'sını hesaplayalım: 12x . 5/6 = 10x
Denklemimizi kuralım:
6x + 20 = 10x
20 = 4x ➡ x = 5
Başlangıçtaki suyu (12x) arıyoruz:
12 . 5 = 60 litre.
Ömer, bir eğitim platformundaki matematik videosunun önce
Döndüğünde, videonun kalan kısmının
Ömer'in izlemediği kısım (kalan süre) 18 dakika olduğuna göre, videonun tamamı kaç dakikadır?
Çözümü Göster
Sadece "kalan kısmı" ifade edildiği için ve en sondaki kalan dakika (18) verildiği için "Hızlı Çarpma" taktiği mükemmel işler!
- 1/4'ünü izlediyse, geriye 3/4'ü kalır.
- 2/5'ini izlediyse, geriye 3/5'i kalır.
Videonun tamamına V diyelim ve kalan kesirleri çarpalım:
Çarpmayı toparlayalım:
18 ile paydaki 9'u sadeleştirirsek 2 kalır. İçler dışlar çarpımı yapalım:
V = 20 . 2 = 40 dakika.
MODÜL 15: BÖLÜM 2 - KALANI PAYLAŞTIRMA
"Kelimelere Dikkat: Bütünden mi Yiyoruz, Kalandan mı?"
Aşağıdaki iki cümleyi dikkatlice oku, çünkü çözüm yöntemleri tamamen farklıdır:
- "Maaşının 1/3'ünü kiraya, 1/4'ünü faturaya..." ➡ Kalan demediği için ikisi de ANA MAAŞ üzerinden hesaplanır.
- "Maaşının 1/3'ünü kiraya, KALANININ 1/4'ünü faturaya..." ➡ Burada kirayı ödedikten sonra elimizde kalan parayı bulup, onun 1/4'ünü almalıyız!
Çözüm İçin İki Efsane Taktik
Taktik 1: EKOK (Değer Verme) Yöntemi
Kesir problemlerinin vazgeçilmezidir. Sorudaki tüm paydaları çarp (veya EKOK'unu al) ve bütüne o değeri ver (Örn: 12x). Sonra sırayla harca ve kalanı bularak ilerle.
(En garanti, en az hata yapılan yöntemdir).
Taktik 2: Kalan Kesirleri Çarpma Yöntemi
Sürekli "kalanının, kalanının, kalanının" diyorsa ve en sondaki miktarı vermişse saniyeler içinde çözer.
Örn: 1/3'ü harcanırsa geriye 2/3'ü kalır. Tüm "kalan" kesirleri ana parayla çarp, sonuca eşitle!
Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
Ali parasının önce
Geriye 20 TL parası kaldığına göre, Ali'nin başlangıçtaki parası kaç TL'dir?
Çözümü Göster
1. YOL (Değer Verme - Önerilen):
- Paydalar 3 ve 2. Çarpımları 6. Ali'nin parasına 6x diyelim.
- 1. Harcama: 6x'in 1/3'ü = 2x harcadı.
- KALAN PARA: 6x - 2x = 4x kaldı! (İşte burası çok önemli).
- 2. Harcama: Kalanın (4x'in) 1/2'si = 2x daha harcadı.
- Son Kalan: 4x'ten 2x daha harcayınca geriye 2x kaldı.
Soruda kalan paranın 20 TL olduğu söylenmiş: 2x = 20 ➡ x = 10
Başlangıçtaki para = 6x = 6 . 10 = 60 TL.
2. YOL (Hızlı Kesir Çarpımı):
- 1/3'ü harcanırsa, geriye 2/3'ü kalır.
- 1/2'si harcanırsa, geriye 1/2'si kalır.
Çarpma yapıp 2'leri sadeleştirirsek: Para/3 = 20 ➡ Para = 60 TL.
Merve bir kitabın önce
Okuması gereken 30 sayfası kaldığına göre, kitap toplam kaç sayfadır?
Çözümü Göster
Sürekli "Kalan kısmın" dediği için Hızlı Çarpma Taktiğini kullanmak çok pratiktir. Kalan kesirleri bulalım:
- 1/4'ünü okuduysa ➡ Geriye 3/4 kalır.
- 1/3'ünü okuduysa ➡ Geriye 2/3 kalır.
- 1/2'sini okuduysa ➡ Geriye 1/2 kalır.
Kitabın tamamına "X" diyelim ve art arda çarpalım:
Pay kısmındaki (3 x 2 x 1 = 6) ile payda kısmındaki (4 x 3 x 2 = 24) sadeleşir.
İçler dışlar çarpımı: X = 30 x 4 = 120 sayfa.
Bir memur maaşının
Geriye 1400 TL parası kaldığına göre, kiraya kaç TL vermiştir?
Çözümü Göster
Burada hem "Kalanının" hem de "Tüm maaşının" ifadeleri iç içe girmiş. O yüzden 1. Taktik (EKOK) en güvenlisidir.
Paydalar: 5, 3 ve 6. Bunların ortak katı 30'dur. Maaşın tamamına 30x diyelim.
- Kira: 30x'in 2/5'i = 12x (Maaştan 12x gitti. Geriye 18x KALDI).
- Faturalar: KALAN PARANIN (18x'in) 1/3'ü = 6x (18x'ten 6x daha gitti. Geriye 12x KALDI).
- Mutfak: TÜM MAAŞIN (30x'in) 1/6'sı = 5x (Cebimizdeki 12x'ten 5x daha verdik).
Son durumda cebimizde kalan para: 12x - 5x = 7x kalır.
Soruda kalan paranın 1400 TL olduğu söylenmiş:
7x = 1400 ➡ x = 200
Soru bizden Kirayı (12x) istiyor:
Kira = 12 . 200 = 2400 TL.
Can cebindeki paranın önce
Son durumda cebinde 40 TL kaldığına göre başlangıçta kaç TL parası vardır?
Çözümü Göster
İşin içine "+20 TL" gibi net bir sayı girince "Hızlı Çarpma" taktiği işe yaramaz. Adım adım denklemi kurmalıyız.
Paydalar 4 ve 3. Tüm paraya 12x diyelim.
- 1. Aşama: 12x'in 1/4'ünü harcadı = 3x harcadı. (Kalan: 9x)
- 2. Aşama: 20 TL daha harcadı. (Kalan: 9x - 20) [İşte yeni kalanımız bu!]
- 3. Aşama: Kalanın 1/3'ünü harcadı. Bir şeyin 1/3'ünü harcarsan geriye 2/3'ü kalır. Bize kalan (40 TL) verildiği için direkt kalanı eşitleyelim.
Denklem: Elimizdeki (9x - 20)'nin 2/3'ü, 40 TL'ye eşittir.
Karşıdaki 40'ı, paydaki 2 ile sadeleştirelim (20 kalır). İçler dışlar çarpımı yapalım:
9x - 20 = 20 . 3
9x - 20 = 60
9x = 80
Bizden "Başlangıçtaki Para" yani 12x isteniyor. Orantı kurabiliriz:
9x = 80 ise, x = 80/9'dur. Toplam Para = 12 . (80/9)
Sadeleştirirsek (3'e böl): 4 . (80/3) = 320 / 3 TL. (ÖSYM bazen bu şekilde rasyonel tam çıkmayan sonuçlar vererek sizin işleminize güvenip güvenmediğinizi test eder).
Bir su deposundaki suyun önce
Son olarak depoya 20 litre su eklenince depo, başlangıçtaki doluluk oranının
Buna göre başlangıçta depoda kaç litre su vardır?
Çözümü Göster
Paydalara bakalım: 3, 4 ve 6. Ortak katları 12. Başlangıçtaki suya 12x diyelim.
- 1. Kullanım: 12x'in 1/3'ü = 4x kullanıldı. (Geriye 8x KALDI).
- 2. Kullanım: KALANIN (8x'in) 1/4'ü = 2x daha kullanıldı. (Geriye 6x KALDI).
- Ekleme: Kalan 6x'in üzerine 20 Litre su eklendi: 6x + 20 oldu.
Soru diyor ki, bu son durum (6x + 20), başlangıçtaki suyun (12x'in) 5/6'sına eşittir.
12x'in 5/6'sını hesaplayalım: 12x . 5/6 = 10x
Denklemimizi kuralım:
6x + 20 = 10x
20 = 4x ➡ x = 5
Başlangıçtaki suyu (12x) arıyoruz:
12 . 5 = 60 litre.
Ömer, bir eğitim platformundaki matematik videosunun önce
Döndüğünde, videonun kalan kısmının
Ömer'in izlemediği kısım (kalan süre) 18 dakika olduğuna göre, videonun tamamı kaç dakikadır?
Çözümü Göster
Sadece "kalan kısmı" ifade edildiği için ve en sondaki kalan dakika (18) verildiği için "Hızlı Çarpma" taktiği mükemmel işler!
- 1/4'ünü izlediyse, geriye 3/4'ü kalır.
- 2/5'ini izlediyse, geriye 3/5'i kalır.
Videonun tamamına V diyelim ve kalan kesirleri çarpalım:
Çarpmayı toparlayalım:
18 ile paydaki 9'u sadeleştirirsek 2 kalır. İçler dışlar çarpımı yapalım:
V = 20 . 2 = 40 dakika.