İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 11: Bölüm 2 - Kök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

MODÜL 11: BÖLÜM 2 - KÖK DIŞINA ÇIKARMA VE İÇİNE ALMA

"Hapishaneden Kaçış ve İçeri Sızma Operasyonları"

1. Kök Dışına Çıkarma (Tam Kısım Ayırma)

Kök içi bir "hapishane", kökün derecesi ise "gardiyanın istediği rüşvet (üs)" gibidir. İçerideki sayının üssü, kökün derecesine tam bölünüyorsa sayı dışarı çıkar.

Tam Çıkanlar (Tam Kareler)

Eğer sayı bir şeyin tam karesiyse, dışarı pürüzsüz çıkar.

√ 36
=
√ 62
= 6

Kısmen Çıkanlar (Parçalama)

Tam çıkmıyorsa, sayıyı "Tam Kare" x "Kalan" şeklinde çarpanlarına ayırırız.

√ 72
=
√ 36 . 2
= 6
√ 2

2. Harfli İfadeleri Çıkarma (Kimlik Kontrolü)

Sayıları çıkarırken sorun yoktur ama harfleri (x, y) çıkarırken KPSS'nin en çok kullandığı "İşaret/Kimlik Tuzağı" devreye girer.

Kimlik Kontrol Noktası: Derece Tek mi, Çift mi?
  • TEK Dereceli Kök: Rahattır. İçerideki harf AYNEN dışarı çıkar. Negatifse negatif, pozitifse pozitif.
    3√x3
    = x
  • ÇİFT Dereceli Kök: Acımasızdır. Dışarı negatif çıkılması yasaktır. Bu yüzden harf her zaman MUTLAK DEĞER |x| içinde dışarı çıkar.
    2√x2
    = |x|

3. Kök İçine Alma (Katsayıyı Hapsetme)

Bazen dışarıdaki bir sayıyı kök içine almamız gerekir. Bu işlem genellikle "Hangi sayı daha büyük/küçük?" (Sıralama) veya "Hangi iki tam sayı arasında?" sorularında kullanılır.

Kural: Biletini Al ve Gir!

Dışarıdaki sayı kökün içine girerken, kökün derecesini kendisine "ÜS" olarak alır.

3
√ 5
=
√ 32 . 5
=
√ 45

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Kök Dışına Çıkarma
√ 108

ifadesinin a√b şeklindeki en sade yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

Çözümü Göster

108 sayısının içinde gizli bir "Tam Kare" çarpan aramalıyız. (4, 9, 16, 25, 36... gibi)

  • 108 = 36 . 3'tür.
  • √36 . 3
  • 36 sayısı altının karesi olduğu için kök dışına 6 olarak çıkar.
  • 3 sayısı ise tam kare olmadığı için içeride kalır.

Cevap: 6

√3

ORTA SORU 2: Kök İçine Alma (Sıralama)
a = 3
√5
b = 2
√11
c = 4
√3

sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözümü Göster

Bu haliyle kimin büyük olduğunu göremeyiz. Adaleti sağlamak için tüm katsayıları kök içine almalıyız.

  • a için: 3 içeriye 32 (Yani 9) olarak girer.
    a =
    √9 . 5
    =
    √45
  • b için: 2 içeriye 22 (Yani 4) olarak girer.
    b =
    √4 . 11
    =
    √44
  • c için: 4 içeriye 42 (Yani 16) olarak girer.
    c =
    √16 . 3
    =
    √48

Kök içi küçük olan daha küçüktür. (44 < 45 < 48)

Cevap: b < a < c

ORTA SORU 3: Ondalıklı Kesirleri Çıkarma
√0,64
+
√1,44
-
√0,04

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Ondalık sayıları rasyonel kesre (bölmeli) çevirip öyle kök dışına çıkarmalıyız.

  • √
    64100
     ➡ 64 dışarı 8, 100 dışarı 10 çıkar: 8/10
  • √
    144100
     ➡ 144 dışarı 12, 100 dışarı 10 çıkar: 12/10
  • √
    4100
     ➡ 4 dışarı 2, 100 dışarı 10 çıkar: 2/10

İşlemi yapalım:

810
+
1210
-
210
=
1810

Ondalık yazılışı: 1,8

ZOR (KPSS BANKOSU) SORU 4: Harfli İfade ve İşaret Kontrolü

x < 0 < y olmak üzere;

2√x2
+
3√y3
-
2√(x - y)2

ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster

Kök derecelerine (Tek mi, Çift mi?) çok dikkat etmeliyiz.

  • 1. Terim (Karekök - Çift): x² dışarı mutlak değer |x| olarak çıkar. x negatif olduğu için eksi ile çarpılarak çıkar: -x
  • 2. Terim (Küp Kök - Tek): Tek derece olduğu için mutlak değere GEREK YOKTUR. Olduğu gibi çıkar: +y
  • 3. Terim (Karekök - Çift): (x-y)² dışarı mutlak değer |x-y| olarak çıkar. Küçük sayıdan(x) büyük sayı(y) çıktığı için içerisi negatiftir. Ters işaretli çıkar: (-x + y).
    Dikkat! Önünde bir de işlem eksisi var! ➡ -(-x + y) = +x - y

Hepsini birleştirelim:

(-x) + (y) + (x - y)

Cevap: 0

ZOR SORU 5: Köklü Denklem İçinde Çıkarma
x
√2
=
√50
-
√18

olduğuna göre x kaçtır?

Çözümü Göster

Kök içleri farklıysa çıkarma yapılamaz. Önce 50 ve 18'i "kısmen dışarı" çıkaralım.

  • 50 = 25 . 2 ➡ Dışarı çıkar: 5
    √2
  • 18 = 9 . 2 ➡ Dışarı çıkar: 3
    √2

Denklemi yeniden yazalım:

x
√2
= 5
√2
- 3
√2

Elma hesabıyla (5 elmadan 3 elma çıktı):

x
√2
= 2
√2

Karşılıklı √2'ler birbirini götürür.

Cevap: x = 2

YENİ NESİL SORU 6: Gerçek Uzunluk Tahmini

Bir boyacı, duvara dayadığı merdivenin uzunluğunun 5√3 metre olduğunu ölçmüştür. Boyacının merdiveni taşıyabilmesi için merdivenin yaklaşık uzunluğunu tam sayı cinsinden tahmin etmesi gerekmektedir.

Buna göre bu merdivenin boyu hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Çözümü Göster

Köklü bir sayının "yaklaşık değerini" bulmak veya hangi tam sayılar arasına düştüğünü görmek için, dışarıdaki her şeyi KÖK İÇİNE ALMALIYIZ.

  • Dışarıdaki 5'i içeriye 52 (Yani 25) olarak atalım.
  • 5
    √3
    =
    √25 . 3
    =
    √75

Şimdi √75 sayısının bildiğimiz hangi "Tam Kare" sayıların arasında olduğunu bulalım:

  • √64
     = 8
  • √81
     = 9

√75 sayısı, √64 ile √81 arasında bir sayıdır.

Yani merdivenin boyu 8 metreden biraz uzun, 9 metreden kısadır (Yaklaşık 8.6 metre).

Cevap: 8 ile 9 arasındadır.