İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 11: Bölüm 3 - Köklü Sayılarda Dört İşlem

MODÜL 11: BÖLÜM 3 - KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

"Kökler Arası İttifaklar ve Çatışmalar"

1. Toplama ve Çıkarma İşlemi (Elma-Armut Kuralı)

Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için HEM KÖKÜN DERECESİ HEM DE KÖKÜN İÇİ TIPATIP AYNI olmak zorundadır. Sadece dışarıdaki katsayılar toplanır/çıkarılır.

Ortak Kök Parantezi

a
n√x
+ b
n√x
- c
n√x
= (a + b - c)
n√x

Örn: 5 tane √2 ile 3 tane √2'yi toplarsan 8 tane √2 eder.

🚨 ÖLÜMCÜL HATA!

Asla ama asla köklerin içini birbiriyle toplama! Ayrı ayrı kökler içindeki sayılar birleşemez.

√9
+
√16
≠
√25

Gerçekten de √9=3, √16=4'tür. 3+4=7 yapar. Ama √25=5'tir. 7 eşit değildir 5'e!

2. Çarpma ve Bölme İşlemi (Aynı Çatı Kuralı)

Çarpma ve bölme yaparken kökün içinin aynı olmasına gerek yoktur. Sadece KÖKÜN DERECESİ AYNI OLMALIDIR. Dereceler aynıysa, sayılar aynı kök çatısı altında çarpılır veya bölünür.

✖️ Çarpma İşlemi

Dışarıdakiler dışarıda, içeridekiler içeride çarpılır.

n√a
.
n√b
=
n√a . b

Örn: √2 . √3 = √6

➗ Bölme İşlemi

Dışarıdakiler dışarıda, içeridekiler içeride bölünür.

√a
√b
=
√
ab

Örn: √10 / √2 = √5

3. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Toplama ve Çıkarma
√12
+
√27
-
√3

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Şu an kök içleri farklı olduğu için toplanamazlar. Hepsini "kısmen dışarı" çıkararak kök içlerini eşitleyeceğiz.

  • √12
    =
    √4 . 3
    = 2
    √3
  • √27
    =
    √9 . 3
    = 3
    √3
  • √3
    = 1
    √3
     (Başında gizli 1 vardır)

Şimdi işlemi yapalım:

2

√3
+ 3
√3
- 1
√3

Katsayıları işleme sok: 2 + 3 - 1 = 4.

Cevap: 4

√3

ORTA SORU 2: Çarpma ve Dağıtma
√3
(
√27
+
√12
)

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Dışarıdaki √3'ü parantez içine dağıtarak (çarpıp) içeri sokalım.

  • 1. Çarpım:
    √3
    .
    √27
    =
    √81
  • 2. Çarpım:
    √3
    .
    √12
    =
    √36

Şimdi kökleri dışarı çıkaralım (ikisi de tam karedir):

  • √81
    = 9
  • √36
    = 6

İşlemin son hali: 9 + 6 = 15

ORTA SORU 3: Kesirli Köklerde Sadeleştirme
√72
+
√50
√98

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Önce tüm sayıları "Kök dışına kısmen çıkarma" yöntemiyle en sade hale (a√b formatına) getirmeliyiz.

  • √72
    =
    √36 . 2
    = 6
    √2
  • √50
    =
    √25 . 2
    = 5
    √2
  • √98
    =
    √49 . 2
    = 7
    √2

Yerine yazalım:

6
√2
+ 5
√2
 7
√2

Pay kısmını toplayalım:

11
√2
 7
√2

Pay ve paydadaki √2'ler birbirini sadeleştirir (götürür).

Cevap: 11/7

ZOR SORU 4: Ondalık Kesirlerin Kökü
√0,48
+
√0,27
√0,12

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Ondalık sayıları rasyonel kesre çevirerek başlayalım:

  • √48/100
    =
    √48
    √100
    =
    4
    √3
    10
  • √27/100
    =
    √27
    √100
    =
    3
    √3
    10
  • √12/100
    =
    √12
    √100
    =
    2
    √3
    10

Yerine yazıp paydası aynı olan kesirleri toplayalım:

7
√3
10
2
√3
10

Kesirlerde bölme kuralı: Birinci aynen kalır, ikinci ters çevrilip çarpılır. (10'lar ve √3'ler birbirini götürür).

Cevap: 7/2

ZOR SORU 5: Dereceleri Farklı Köklerde Çarpma
3√2
.
√2

işleminin sonucu nedir?

Çözümü Göster
Kural: Kök dereceleri farklıysa çarpma Y-A-PI-LA-MAZ! Önce dereceleri aynı çatı altında eşitlemeliyiz (EKOK).

Birinin derecesi 3, diğerinin (yazılmadığı için) 2'dir. 3 ve 2'nin ortak katı 6'dır.

  • 1. Kök:
    3√21
     ➡ Dereceyi 2 ile çarparken, içerideki üssü de 2 ile çarparız. ➡
    6√22
  • 2. Kök:
    2√21
     ➡ Dereceyi 3 ile çarparken, içerideki üssü de 3 ile çarparız. ➡
    6√23

Artık dereceler eşit. Aynı çatı altında çarpalım:

6√22 . 23

Tabanlar aynıysa üsler toplanır.

Cevap:

6√25
(veya
6√32
)

YENİ NESİL GEOMETRİ SORU 6: Dikdörtgenin Çevresi ve Alanı

Bir dikdörtgenin kısa kenarı √18 cm, uzun kenarı ise √32 cm'dir. Buna göre bu dikdörtgenin Alanı ve Çevresi sırasıyla kaç cm ve cm²'dir?

Çözümü Göster

Öncelikle kenarları "a√b" formatında en sade haline getirelim:

  • Kısa Kenar:
    √18
    =
    √9 . 2
    = 3
    √2
  • Uzun Kenar:
    √32
    =
    √16 . 2
    = 4
    √2

1. ALAN HESABI (Kısa x Uzun):

Alan = 3

√2
. 4
√2

Dışarıdakiler çarpılır (3x4=12). İçeridekiler çarpılır (√2 x √2 = √4 = 2).

Alan = 12 . 2 = 24 cm²

2. ÇEVRE HESABI (2 x (Kısa + Uzun)):

Önce toplayalım: 3

√2
+ 4
√2
= 7
√2

2 ile çarpalım (katsayıyı): 2 . 7

√2
= 14√2 cm

Cevap: Alan: 24, Çevre: 14√2