MODÜL 22: BÖLÜM 2 - KÜMELERDE İŞLEMLER
"Birleştirelim, Kesiştirelim, Ayıklayalım!"
1. Birleşim ve Kesişim (Toplama ve Ortaklık)
[Image of set theory union and intersection venn diagram]∪ Birleşim (Herkes Gelsin!)
İki kümedeki TÜM elemanların bir araya gelmesidir.
Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∪ B = {1, 2, 3}
(Not: Ortak olan "2" sadece bir kez yazılır).
∩ Kesişim (Ortak Nokta)
Sadece her iki kümede de bulunan ORTAK elemanlardır.
Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∩ B = {2}
(Kesişim boşsa, bunlara "Ayrık Kümeler" denir).
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulurken, kesişimi (ortayı) iki kere saymamak için bir kez çıkarmalıyız.
2. Fark İşlemi (Kıskançlık)
Bir kümede olup diğerinde OLMAYAN elemanlardır. "Benim olsun, senin olmasın" mantığıdır.
[Image of set difference venn diagram]- A - B: A'da olup B'de olmayanlar. (Sadece A)
- B - A: B'de olup A'da olmayanlar. (Sadece B)
3. Evrensel Küme ve Tümleme
E (Evrensel Küme): Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan dev kutudur.
A' (A'nın Tümleyeni): Evrensel kümenin içinde olup, A kümesinin DIŞINDA kalanlardır.
[Image of set complement venn diagram]Bir kümenin kendisi (A) ile dışındakilerin (A') toplamı, Evrensel Kümeyi (E) verir.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
A ve B kümeleri için:
- s(A) = 12
- s(B) = 8
- s(A ∩ B) = 3
Olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
Çözümü Göster
En önemli formülümüzü kullanalım:
Değerleri yerine koyalım:
s(A ∪ B) = 12 + 8 - 3
s(A ∪ B) = 20 - 3 = 17
A kümesi {1, 2, 3, 4, 5} ve B kümesi {4, 5, 6, 7} ise, A - B kümesi nedir?
Çözümü Göster
Mantık: A kümesinin içinden, B ile ortak olanları (ajanları) atacağız.
- A kümesi: {1, 2, 3, 4, 5}
- B kümesi: {4, 5, 6, 7}
- Ortak olanlar: 4 ve 5.
A'dan 4 ve 5'i çıkarırsak geriye ne kalır?
A - B = {1, 2, 3}
(Dikkat: B'deki 6 ve 7 bizi ilgilendirmez, çünkü biz A'nın içindekilere bakıyoruz).
s(A) = 3 . s(A ∩ B)
s(B) = 4 . s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 30
Olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Her şey kesişime bağlı verilmiş. Kesişime "x" diyerek Venn şeması kuralım.
- s(A ∩ B) = x (Tam orta göbek)
- s(A) = 3x (A'nın tamamı 3x ise, göbek hariç Yalnız A = 2x kalır).
- s(B) = 4x (B'nin tamamı 4x ise, göbek hariç Yalnız B = 3x kalır).
Birleşim (A ∪ B) demek, gördüğün tüm parçaların toplamıdır:
2x + x + 3x = 30
6x = 30 ➡ x = 5
Soru s(A)'yı istiyor. s(A) = 3x demiştik.
s(A) = 3 . 5 = 15
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) + s(B') = 14
s(A') + s(B) = 10
Olduğuna göre, Evrensel Kümenin eleman sayısı s(E) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
+ s(A') + s(B) = 10
-------------------
[s(A) + s(A')] + [s(B) + s(B')] = 24
Köşeli parantezlerin her biri Evrensel Kümeye (E) eşittir.
s(E) + s(E) = 24
2 . s(E) = 24 ➡ s(E) = 12
MODÜL 22: BÖLÜM 2 - KÜMELERDE İŞLEMLER
"Birleştirelim, Kesiştirelim, Ayıklayalım!"
1. Birleşim ve Kesişim (Toplama ve Ortaklık)
[Image of set theory union and intersection venn diagram]∪ Birleşim (Herkes Gelsin!)
İki kümedeki TÜM elemanların bir araya gelmesidir.
Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∪ B = {1, 2, 3}
(Not: Ortak olan "2" sadece bir kez yazılır).
∩ Kesişim (Ortak Nokta)
Sadece her iki kümede de bulunan ORTAK elemanlardır.
Örn: A={1,2}, B={2,3} ➡ A ∩ B = {2}
(Kesişim boşsa, bunlara "Ayrık Kümeler" denir).
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulurken, kesişimi (ortayı) iki kere saymamak için bir kez çıkarmalıyız.
2. Fark İşlemi (Kıskançlık)
Bir kümede olup diğerinde OLMAYAN elemanlardır. "Benim olsun, senin olmasın" mantığıdır.
[Image of set difference venn diagram]- A - B: A'da olup B'de olmayanlar. (Sadece A)
- B - A: B'de olup A'da olmayanlar. (Sadece B)
3. Evrensel Küme ve Tümleme
E (Evrensel Küme): Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan dev kutudur.
A' (A'nın Tümleyeni): Evrensel kümenin içinde olup, A kümesinin DIŞINDA kalanlardır.
[Image of set complement venn diagram]Bir kümenin kendisi (A) ile dışındakilerin (A') toplamı, Evrensel Kümeyi (E) verir.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
A ve B kümeleri için:
- s(A) = 12
- s(B) = 8
- s(A ∩ B) = 3
Olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
Çözümü Göster
En önemli formülümüzü kullanalım:
Değerleri yerine koyalım:
s(A ∪ B) = 12 + 8 - 3
s(A ∪ B) = 20 - 3 = 17
A kümesi {1, 2, 3, 4, 5} ve B kümesi {4, 5, 6, 7} ise, A - B kümesi nedir?
Çözümü Göster
Mantık: A kümesinin içinden, B ile ortak olanları (ajanları) atacağız.
- A kümesi: {1, 2, 3, 4, 5}
- B kümesi: {4, 5, 6, 7}
- Ortak olanlar: 4 ve 5.
A'dan 4 ve 5'i çıkarırsak geriye ne kalır?
A - B = {1, 2, 3}
(Dikkat: B'deki 6 ve 7 bizi ilgilendirmez, çünkü biz A'nın içindekilere bakıyoruz).
s(A) = 3 . s(A ∩ B)
s(B) = 4 . s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 30
Olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Her şey kesişime bağlı verilmiş. Kesişime "x" diyerek Venn şeması kuralım.
- s(A ∩ B) = x (Tam orta göbek)
- s(A) = 3x (A'nın tamamı 3x ise, göbek hariç Yalnız A = 2x kalır).
- s(B) = 4x (B'nin tamamı 4x ise, göbek hariç Yalnız B = 3x kalır).
Birleşim (A ∪ B) demek, gördüğün tüm parçaların toplamıdır:
2x + x + 3x = 30
6x = 30 ➡ x = 5
Soru s(A)'yı istiyor. s(A) = 3x demiştik.
s(A) = 3 . 5 = 15
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) + s(B') = 14
s(A') + s(B) = 10
Olduğuna göre, Evrensel Kümenin eleman sayısı s(E) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
+ s(A') + s(B) = 10
-------------------
[s(A) + s(A')] + [s(B) + s(B')] = 24
Köşeli parantezlerin her biri Evrensel Kümeye (E) eşittir.
s(E) + s(E) = 24
2 . s(E) = 24 ➡ s(E) = 12