İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 9: Bölüm 2 - Mutlak Değer Özellikleri

MODÜL 9: BÖLÜM 2 - MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ

"İşlemleri hızlandıran süper güçler"

1. Temel Özellikler

1. Ayna Kuralı (Simetri)

Bir sayının eksilisi ile artılısının mutlak değeri eşittir.

|x| = |-x|
|x - y| = |y - x|

(Mesafe değişmez, sadece yön değişir.)

2. Parçalama Kuralı

Çarpma ve bölmede mutlak değer ayrılabilir.

|x . y| = |x| . |y|
|x / y| = |x| / |y|

(Toplama ve çıkarmada bu yapılamaz!)

3. Kuvvet Kuralı

Kuvvet (üs) mutlak değerin dışına çıkabilir.

|xⁿ| = |x|ⁿ

Özellikle çift kuvvetlerde mutlak değere gerek kalmaz: |x²| = x²

4. Katsayıyı Dışarı Atma

Bilinmeyenin katsayısı pozitif olarak dışarı atılabilir.

|3x| = 3|x|
|-2x| = 2|x|
⚠️ KRİTİK UYARI (TOPLAM KURALI):

İki mutlak değerli ifadenin toplamı SIFIR ise, ifadelerin her ikisi de ayrı ayrı SIFIR olmak zorundadır.

|A| + |B| = 0 ➡ A = 0 ve B = 0

(Çünkü mutlak değer negatif olamaz, toplamın sıfır olması için tek şans ikisinin de nötr olmasıdır.)

2. Örnek Soru Çözümleri

TEMEL İŞLEM SORU 1:

|3x| + |-2x| - |x| = 12 olduğuna göre, x'in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Adım 1: Katsayıları dışarı atalım.

  • |3x| = 3|x|
  • |-2x| = 2|x| (Eksi yutulur)
  • |x| = 1|x|

Adım 2: Yerine koy ve topla.

3|x| + 2|x| - 1|x| = 12

4|x| = 12

|x| = 3

Adım 3: Değerleri bul.

x = 3 veya x = -3 olabilir.
Çarpım: 3 . (-3) = -9

KPSS FAVORİSİ SORU 2:

|3x - 12| + |2y + 10| = 0 olduğuna göre, x + y kaçtır?

Çözümü Göster

Mantık: Uzaklıklar toplamı sıfırsa, her ikisi de sıfır noktasındadır.

1. Kısım: 3x - 12 = 0
3x = 12 ➡ x = 4

2. Kısım: 2y + 10 = 0
2y = -10 ➡ y = -5

Sonuç: x + y = 4 + (-5) = -1

SADELEŞTİRME SORU 3:

x ≠ 2 olmak üzere;
|x - 2| / |2 - x| + |5| işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Kural: |x - y| = |y - x|'tir. Yani |x - 2| ile |2 - x| birbirine EŞİTTİR.

Aynı sayıların birbirine bölümü 1'dir.

1. Kısım: |x - 2| / |2 - x| = 1

2. Kısım: |5| = 5

Sonuç: 1 + 5 = 6

DENKLEM SORU 4:

|x² - 9| = |x - 3| denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Adım 1: Çarpanlara ayır (İki kare farkı).
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

Adım 2: Mutlak değer içinde yaz ve parçala.
|(x - 3)(x + 3)| = |x - 3|
|x - 3| . |x + 3| = |x - 3|

Adım 3: Sadeleştirme (Kök kaybetmemeye dikkat!).
Her iki tarafta |x - 3| var. Bunlar birbirini götürürse;

  • Götüren ifadeyi 0'a eşitle: x - 3 = 0 ➡ x = 3 (1. Kök)
  • Geriye kalan: |x + 3| = 1

Adım 4: Kalan denklemi çöz.
x + 3 = 1 ➡ x = -2
x + 3 = -1 ➡ x = -4

Toplam: 3 + (-2) + (-4) = -3

ANALİZ SORU 5:

a < 0 < b olmak üzere;
|a - b| + |b - a| - |2a| işleminin sonucu nedir?

Çözümü Göster

Kural: |a - b| ile |b - a| birbirine eşittir. İkisini toplarsak 2|a - b| veya 2|b - a| yapar.

İşaret Analizi:

  • |b - a| (Büyükten küçük çıkmış) ➡ Pozitif ➡ Aynen çıkar: (b - a)
  • |a - b| (Küçükten büyük çıkmış) ➡ Negatif ➡ Ters çıkar: -a + b (Yine b-a oldu)
  • |2a| (a negatif) ➡ Negatif ➡ Ters çıkar: -2a

Birleştirme:

(b - a) + (b - a) - (-2a)

b - a + b - a + 2a

2b - 2a + 2a = 2b

YENİ NESİL SORU 6:

Sayı doğrusu üzerinde A ve B sayılarının sıfıra olan uzaklıkları eşittir. A sayısı B sayısından küçüktür.
|3A| + |2B| = 20 olduğuna göre, A kaçtır?

Çözümü Göster

Yorum: Sıfıra uzaklıkları eşitse |A| = |B|'dir.
A < B olduğuna göre, bunlar zıt işaretlidir. (Örn: -5 ve +5 gibi).
Yani A = -B diyebiliriz.

Denklem:

3|A| + 2|B| = 20 (Katsayıları dışarı attık)

|A| ile |B| eşit olduğu için, |B| yerine |A| yazalım.

3|A| + 2|A| = 20

5|A| = 20 ➡ |A| = 4

Sonuç: A sayısı B'den küçük olduğu için negatif olanı almalıyız.

A = -4