İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 9: Bölüm 1 - Mutlak Değer

MODÜL 9: BÖLÜM 1 - MUTLAK DEĞER TANIMI

"Matematiğin Çamaşır Makinesi: Kirli girer, Temiz çıkar!"

| x |

GEOMETRİK TANIM: Bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra (başlangıç noktasına) olan uzaklığıdır.

Uzaklık asla negatif olamaz!

|-5| = 5     |5| = 5

Eskişehir'den Ankara'ya gitmek de 230 km'dir, Ankara'dan Eskişehir'e dönmek de 230 km'dir.
Yön (işaret) değişir ama mesafe (mutlak değer) değişmez.

1. Mutlak Değerin Dışarı Çıkma Kuralı

Burası konunun kalbidir. Mutlak değerin içindeki ifadeye bakarız:

😊 İÇERİSİ POZİTİF İSE

Eğer içerideki sayı veya ifade Sıfırdan Büyükse:

Aynen dışarı çıkar. Dokunma!

|5| ➡ 5
|x| ➡ x (x>0 ise)

😡 İÇERİSİ NEGATİF İSE

Eğer içerideki sayı veya ifade Sıfırdan Küçükse:

Eksi (-) ile çarpılarak dışarı çıkar.

|-5| ➡ -(-5) = 5
|x| ➡ -x (x<0 ise)

⚠️ BÜYÜK TUZAK:

Öğrenciler genelde |x| = -x ifadesini görünce "Sonuç negatif çıkmış, yanlış!" derler.

HAYIR! Eğer x'in kendisi negatifse (mesela x = -3), önüne bir eksi daha alınca (-(-3) = +3) sonuç POZİTİF olur. Yani -x aslında pozitif bir sayıdır.

2. Örnek Soru Çözümleri

TEMEL SORU 1:

|-12| + |7| - |-3| işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Her bir mutlak değeri ayrı ayrı dışarı çıkaralım:

  • |-12| = 12 (Uzaklık 12 birim)
  • |7| = 7 (Aynen çıkar)
  • |-3| = 3 (Uzaklık 3 birim)

İşlemi yapalım:

12 + 7 - 3 = 19 - 3 = 16

HARFLİ SORU 2:

x < 0 olmak üzere;
|x| + |-2x| - |3x| ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster

Analiz (İşaret Tespiti): x negatif bir sayıdır (Örn: -1 gibi düşün).

  • |x|: İçerisi Negatif. Dışarı -x diye çıkar.
  • |-2x|: x eksi ise, -2 ile çarpınca İçi Pozitif olur (-2 . -1 = +2). Aynen çıkar: -2x.
  • |3x|: x eksi ise, 3 ile çarpınca İçi Negatif olur. Eksi ile çarpıp çıkar: -3x.

İşlem:

(-x) + (-2x) - (-3x)

-3x + 3x = 0

KPSS KLASİĞİ SORU 3:

x < y < 0 olmak üzere;
|x - y| + |y| - |x| ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
TAKTIK: Küçük sayıdan Büyük sayı çıkarsa sonuç NEGATİF olur.
Büyük sayıdan Küçük sayı çıkarsa sonuç POZİTİF olur.

İşaret İncelemesi:

  • |x - y|: Küçükten(x) büyük(y) çıkmış ➡ İçi Negatif (-). Dışarı ters işaretli çıkar: -x + y (veya y-x).
  • |y|: y sıfırdan küçük ➡ İçi Negatif (-). Dışarı -y çıkar.
  • |x|: x sıfırdan küçük ➡ İçi Negatif (-). Dışarı -x çıkar.

Birleştirme:

(-x + y) + (-y) - (-x)

-x + y - y + x = 0

İÇ İÇE SORU 4:

| | -3 | - 8 | + | 4 - 9 | işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

En içten dışa doğru gidelim.

1. Parça: | | -3 | - 8 |

  • |-3| = 3
  • | 3 - 8 | = | -5 |
  • | -5 | = 5

2. Parça: | 4 - 9 |

  • | -5 | = 5

Sonuç: 5 + 5 = 10

GEOMETRİK SORU 5:

Sayı doğrusu üzerinde 2x - 1 sayısının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı 7 birimdir. Buna göre x'in alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

"Başlangıç noktasına uzaklık" demek Mutlak Değer demektir.

|2x - 1| = 7

İki durum vardır:

  • Durum 1: 2x - 1 = 7 ➡ 2x = 8 ➡ x = 4
  • Durum 2: 2x - 1 = -7 ➡ 2x = -6 ➡ x = -3

Çarpım: 4 . (-3) = -12

HAYATIN İÇİNDEN SORU 6:

Bir şehrin hava sıcaklığı (t), gün içinde en düşük -4°C, en yüksek 12°C olarak ölçülmüştür. Bu şehirdeki hava sıcaklığının değişim aralığını ifade eden mutlak değerli eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A) |t - 4| ≤ 8    B) |t - 8| ≤ 4    C) |t + 4| ≤ 12

Çözümü Göster

Yöntem: Orta noktayı ve yarıçapı (mesafeyi) bul.

1. Orta Nokta: (En büyük + En küçük) / 2
(12 + (-4)) / 2 = 8 / 2 = 4

2. Uzaklık (Yarıçap): (En büyük - Orta nokta)
12 - 4 = 8

Formül: |t - (Orta Nokta)| ≤ Uzaklık

Cevap: |t - 4| ≤ 8 (A şıkkı)

Sağlama: t=12 için |8|≤8, t=-4 için |-8|≤8. Doğru.