MODÜL 25: BÖLÜM 6 - OLASILIK KAVRAMI
"Hayal ettiğimiz senaryonun, dünyadaki tüm ihtimallere bölünmesi sanatıdır!"
1. Olasılığın Altın Kuralı
Olasılık sorularında yeni bir işlem öğrenmeyeceğiz. Sadece bir kesir çizgisi çizeceğiz. Çizginin altına dünyada olabilecek "Tüm Durumları", çizginin üstüne ise sorunun bizden "İstediği Hayali" yazacağız.
İmkansız olayların olasılığı 0, kesin olayların olasılığı 1'dir.
2. En Meşhur İhtimaller: Para ve Zar
Sorularda en çok madeni para ve zar atılır. Tüm durumları (alt katı) bulmak çok kolaydır:
- Madeni Para: 2 yüzü vardır (Yazı/Tura). n tane para atılırsa tüm durumlar 2n olur.
(1 para = 2 ihtimal, 2 para = 4 ihtimal, 3 para = 8 ihtimal...) - Zar: 6 yüzü vardır. n tane zar atılırsa tüm durumlar 6n olur.
(1 zar = 6 ihtimal, 2 zar = 36 ihtimal...)
3. Torbadan Top/Bilye Çekme
Eğer torbadan aynı anda birden fazla top çekiyorsak, burada "Kombinasyon (Seçme)" kuralları devreye girer. Tüm ihtimalleri bulmak için torbadaki tüm toplardan istenen adedi seçeriz; istenen durumu bulmak için ise sadece istediğimiz renklerin içinden seçim yaparız.
Aynı permütasyondaki gibi; olasılıkta da "A olayı VEYA B olayı" deniyorsa olasılıklar TOPLANIR.
"A olayı VE B olayı" (ikisi birlikte/peş peşe) deniyorsa olasılıklar ÇARPILIR.
4. Soru Çözümleri (Çıkmış Soru Mantıkları)
Havaya aynı anda 2 zar atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): 2 zar atıldığı için 6 x 6 = 36 tüm durumumuz var.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Toplamı 8 eden zarları parmakla sayalım:
- (2, 6) ve (6, 2)
- (3, 5) ve (5, 3)
- (4, 4)
Toplam 5 tane istenen durum var.
3. Olasılık (Üst / Alt): Cevabımız 5 / 36'dır.
Bir torbada 4 Mavi, 3 Kırmızı top vardır. Torbadan rastgele (aynı anda) 2 top çekiliyor.
Çekilen iki topun da Mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Aynı anda çoklu seçim yaptığımız için devreye Kombinasyon (C) giriyor.
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): Torbada toplam 7 top var. Biz rastgele 2 top seçeceğiz.
C(7, 2) = (7 x 6) / 2 = 21 (Dünyadaki tüm ihtimaller)
2. Üst Kat (İstenen Durum): Biz sadece 4 Mavi topun içinden 2 tane Mavi seçmek istiyoruz.
C(4, 2) = (4 x 3) / 2 = 6 (Hayalimizdeki durum)
3. Olasılık: İstenen / Tüm Durumlar ➡ 6 / 21
Her iki tarafı 3 ile sadeleştirirsek sonuç: 2 / 7 olur.
3 madeni para havaya atılıyor. Bu paralardan en az ikisinin Tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): 3 para atıldığı için 23 = 8 ihtimal var.
2. Üst Kat (İstenen Durumları Yazalım):
- 2 Tura Olanlar: (T-T-Y), (T-Y-T), (Y-T-T) ➡ 3 ihtimal
- 3 Tura Olanlar: (T-T-T) ➡ 1 ihtimal
Toplam istenen durum: 3 + 1 = 4
3. Olasılık: 4 / 8 ➡ Sadeleştirirsek 1 / 2 (%50) çıkar.
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının Çift VEYA Asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Zardaki tüm sayılar (Alt Kat) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ➡ 6 durum.
İstenen sayılar (Üst Kat): Çift olanları ve Asal olanları çuvala atacağız ama aynı sayıyı iki kez saymamaya dikkat edeceğiz!
- Çift sayılar: {2, 4, 6}
- Asal sayılar: {2, 3, 5}
Çuvala giren farklı sayılar: {2, 3, 4, 5, 6} ➡ Toplam 5 tane sayı bize uyar.
(Not: 2 sayısı hem çift hem asaldır, onu sadece 1 kez saydık!)
Olasılık: 5 / 6'dır.
MODÜL 25: BÖLÜM 6 - OLASILIK KAVRAMI
"Hayal ettiğimiz senaryonun, dünyadaki tüm ihtimallere bölünmesi sanatıdır!"
1. Olasılığın Altın Kuralı
Olasılık sorularında yeni bir işlem öğrenmeyeceğiz. Sadece bir kesir çizgisi çizeceğiz. Çizginin altına dünyada olabilecek "Tüm Durumları", çizginin üstüne ise sorunun bizden "İstediği Hayali" yazacağız.
İmkansız olayların olasılığı 0, kesin olayların olasılığı 1'dir.
2. En Meşhur İhtimaller: Para ve Zar
Sorularda en çok madeni para ve zar atılır. Tüm durumları (alt katı) bulmak çok kolaydır:
- Madeni Para: 2 yüzü vardır (Yazı/Tura). n tane para atılırsa tüm durumlar 2n olur.
(1 para = 2 ihtimal, 2 para = 4 ihtimal, 3 para = 8 ihtimal...) - Zar: 6 yüzü vardır. n tane zar atılırsa tüm durumlar 6n olur.
(1 zar = 6 ihtimal, 2 zar = 36 ihtimal...)
3. Torbadan Top/Bilye Çekme
Eğer torbadan aynı anda birden fazla top çekiyorsak, burada "Kombinasyon (Seçme)" kuralları devreye girer. Tüm ihtimalleri bulmak için torbadaki tüm toplardan istenen adedi seçeriz; istenen durumu bulmak için ise sadece istediğimiz renklerin içinden seçim yaparız.
Aynı permütasyondaki gibi; olasılıkta da "A olayı VEYA B olayı" deniyorsa olasılıklar TOPLANIR.
"A olayı VE B olayı" (ikisi birlikte/peş peşe) deniyorsa olasılıklar ÇARPILIR.
4. Soru Çözümleri (Çıkmış Soru Mantıkları)
Havaya aynı anda 2 zar atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): 2 zar atıldığı için 6 x 6 = 36 tüm durumumuz var.
2. Üst Kat (İstenen Durum): Toplamı 8 eden zarları parmakla sayalım:
- (2, 6) ve (6, 2)
- (3, 5) ve (5, 3)
- (4, 4)
Toplam 5 tane istenen durum var.
3. Olasılık (Üst / Alt): Cevabımız 5 / 36'dır.
Bir torbada 4 Mavi, 3 Kırmızı top vardır. Torbadan rastgele (aynı anda) 2 top çekiliyor.
Çekilen iki topun da Mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Aynı anda çoklu seçim yaptığımız için devreye Kombinasyon (C) giriyor.
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): Torbada toplam 7 top var. Biz rastgele 2 top seçeceğiz.
C(7, 2) = (7 x 6) / 2 = 21 (Dünyadaki tüm ihtimaller)
2. Üst Kat (İstenen Durum): Biz sadece 4 Mavi topun içinden 2 tane Mavi seçmek istiyoruz.
C(4, 2) = (4 x 3) / 2 = 6 (Hayalimizdeki durum)
3. Olasılık: İstenen / Tüm Durumlar ➡ 6 / 21
Her iki tarafı 3 ile sadeleştirirsek sonuç: 2 / 7 olur.
3 madeni para havaya atılıyor. Bu paralardan en az ikisinin Tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Alt Kat (Tüm Durumlar): 3 para atıldığı için 23 = 8 ihtimal var.
2. Üst Kat (İstenen Durumları Yazalım):
- 2 Tura Olanlar: (T-T-Y), (T-Y-T), (Y-T-T) ➡ 3 ihtimal
- 3 Tura Olanlar: (T-T-T) ➡ 1 ihtimal
Toplam istenen durum: 3 + 1 = 4
3. Olasılık: 4 / 8 ➡ Sadeleştirirsek 1 / 2 (%50) çıkar.
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının Çift VEYA Asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Zardaki tüm sayılar (Alt Kat) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ➡ 6 durum.
İstenen sayılar (Üst Kat): Çift olanları ve Asal olanları çuvala atacağız ama aynı sayıyı iki kez saymamaya dikkat edeceğiz!
- Çift sayılar: {2, 4, 6}
- Asal sayılar: {2, 3, 5}
Çuvala giren farklı sayılar: {2, 3, 4, 5, 6} ➡ Toplam 5 tane sayı bize uyar.
(Not: 2 sayısı hem çift hem asaldır, onu sadece 1 kez saydık!)
Olasılık: 5 / 6'dır.