MODÜL 25: BÖLÜM 8 - OLASILIKTA ÖZEL DURUMLAR VE TUZAKLAR
"Topu cebine mi attın, torbaya geri mi koydun? Çifte sayım mı yaptın? İşte ÖSYM'nin en sevdiği saklambaç oyunları!"
1. Bağımlı ve Bağımsız Olaylar (Cepteki Toplar)
Art arda yapılan çekilişlerde, ilk olayın sonucu ikinci olayı etkiliyorsa buna Bağımlı Olay, etkilemiyorsa Bağımsız Olay denir.
- Bağımsız (Geri Atmalı): Torbadan bir top çektin, rengine baktın ve torbaya geri attın. İkinci çekilişte torbadaki top sayısı değişmediği için (evren küçülmediği için) ihtimaller etkilenmez.
- Bağımlı (Geri Atmasız): Torbadan bir top çektin ve cebine koydun! Artık torbada 1 top eksik. Hem "Tüm Durumlar (Payda)" 1 azaldı, hem de çektiğin renkten 1 tane eksildiği için üst kat değişebilir. İkinci çekiliş, ilkine bağımlı hale geldi.
2. Ayrık Olmayan Olaylar (Kesişim Tuzağı)
Bir soruda "VEYA" kelimesini gördüğümüzde olasılıkları topladığımızı biliyoruz. Ama ya iki olayın ortak bir noktası varsa?
"Zarın 3'ten küçük VEYA çift sayı gelme olasılığı kaçtır?"
3'ten küçükler (1, 2). Çiftler (2, 4, 6). İkisini toplayıp "5 ihtimal var" dersen yanarsın! Çünkü "2" sayısını iki defa saydın.
Sözel Kafa Kuralı: İhtimalleri topla ama her iki şarta da uyan "ortak elemanları (kesişimi)" bir kez çöpe at (çıkar) ki adalet sağlansın!
3. Ağaç Diyagramı (Torbadan Torbaya)
A torbasından top çekip B torbasına atma, oradan da bir top çekme gibi zincirleme sorularda Senaryo Çizmek (Ağaç Diyagramı) hayat kurtarır.
İhtimal 1: A'dan Kırmızı çekmişimdir (B'ye Kırmızı gitmiştir) VE B'den Kırmızı çekmişimdir.
VEYA (+)
İhtimal 2: A'dan Mavi çekmişimdir (B'ye Mavi gitmiştir) VE B'den Kırmızı çekmişimdir.
Oluşan her senaryoyu kendi içinde çarpar (VE), farklı senaryoları birbiriyle toplarız (VEYA).
4. Geometrik Olasılık (Dart Tahtası)
Bazen ihtimaller sayılamayacak kadar sonsuzdur (Bir bölgeye ok atılması gibi). Bu durumda nesneleri saymak yerine ALAN hesaplarız. Olasılık kesri şuna dönüşür:
5. Soru Çözümleri (Final Bossları)
Bir torbada 4 Mavi, 5 Kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye torbaya geri atılmamak şartıyla art arda iki bilye çekiliyor.
Birinci bilyenin Mavi, ikinci bilyenin Kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Çekiliş (Mavi İstiyoruz): Torbada toplam 9 bilye var, 4'ü Mavi.
1. Çekiliş Olasılığı = 4 / 9
2. Çekiliş (Kırmızı İstiyoruz): Dikkat! İlk çektiğimiz Mavi bilyeyi cebimize attık. Artık torbada 9 değil, 8 bilye kaldı (Evren daraldı). Bu 8 bilyenin 5 tanesi Kırmızı (Çünkü daha hiç kırmızı çekmedik).
2. Çekiliş Olasılığı = 5 / 8
Sonuç (VE bağlacı = Çarp): Bu iki olay peş peşe olduğu için çarpıyoruz.
(4 / 9) x (5 / 8) = 20 / 72. (Her iki tarafı 4'e bölersek) ➡ 5 / 18
52 kartlık standart bir iskambil destesinden rastgele bir kart çekiliyor.
Çekilen kartın Kırmızı renkli VEYA Papaz (K) olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Alt katımız (Tüm Evren) = 52.
A Olayı (Kırmızı Olması): Destenin yarısı kırmızıdır (Kupa ve Karo). ➡ 26 kart.
P(A) = 26 / 52
B Olayı (Papaz Olması): Destede 4 tane Papaz vardır. ➡ 4 kart.
P(B) = 4 / 52
Kesişimi Çıkar: Kesişim (Hem kırmızı hem Papaz) = 2 kart.
(26 / 52) + (4 / 52) - (2 / 52) = 28 / 52
Sadeleştirirsek (4'e böl) ➡ 7 / 13
A torbasında 3 Siyah, 2 Beyaz; B torbasında 4 Siyah, 3 Beyaz top vardır.
A torbasından rastgele bir top çekilip rengine bakılmadan B torbasına atılıyor. Ardından B torbasından bir top çekiliyor.
B'den çekilen topun Beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
A'dan ne attığımızı bilmediğimiz için 2 farklı "Film Senaryosu" yazacağız ve bunları toplayacağız.
Senaryo 1: A'dan Beyaz attık, B'den Beyaz çektik.
A'dan Beyaz çekme ihtimali: 2 / 5.
(Şimdi B'ye beyaz geldi. B'de artık 4 Siyah, 4 Beyaz oldu. Toplam 8 top).
B'den Beyaz çekme ihtimali: 4 / 8.
Senaryo 1'in gerçekleşmesi: (2/5) x (4/8) = 8 / 40.
Senaryo 2: A'dan Siyah attık, B'den Beyaz çektik.
A'dan Siyah çekme ihtimali: 3 / 5.
(Şimdi B'ye Siyah geldi. B'de artık 5 Siyah, 3 Beyaz oldu. Toplam 8 top).
B'den Beyaz çekme ihtimali: 3 / 8.
Senaryo 2'nin gerçekleşmesi: (3/5) x (3/8) = 9 / 40.
Sonuç (Senaryoları Topla):
(8 / 40) + (9 / 40) = 17 / 40
Merkezleri aynı olan iki daireden, içtekinin yarıçapı r, dıştakininki ise 2r'dir. Dıştaki büyük daireye isabet eden bir okun, içteki küçük daireye (hedefe) İSABET ETMEME olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Nesne sayamadığımız için "Alan" hesaplayacağız. Dairenin Alanı = π.r²'dir.
1. Alt Kat (Tüm Alan - Bütün Tahta): Büyük dairenin yarıçapı 2r.
Tüm Alan = π.(2r)² = 4πr².
2. Üst Kat (İstenen Alan): Okun içteki küçük daireye (Alan = πr²) isabet etmemesini, yani dışarıdaki "Simit" (Halka) şeklindeki bölgeye vurmasını istiyoruz.
Simit Alanı = Tüm Alan - Küçük Daire Alanı
Simit Alanı = 4πr² - πr² = 3πr².
3. Olasılık: (İstenen Alan) / (Tüm Alan)
3πr² / 4πr² ➡ πr²'ler birbirini götürür. Cevap 3 / 4 (%75) olur.
MODÜL 25: BÖLÜM 8 - OLASILIKTA ÖZEL DURUMLAR VE TUZAKLAR
"Topu cebine mi attın, torbaya geri mi koydun? Çifte sayım mı yaptın? İşte ÖSYM'nin en sevdiği saklambaç oyunları!"
1. Bağımlı ve Bağımsız Olaylar (Cepteki Toplar)
Art arda yapılan çekilişlerde, ilk olayın sonucu ikinci olayı etkiliyorsa buna Bağımlı Olay, etkilemiyorsa Bağımsız Olay denir.
- Bağımsız (Geri Atmalı): Torbadan bir top çektin, rengine baktın ve torbaya geri attın. İkinci çekilişte torbadaki top sayısı değişmediği için (evren küçülmediği için) ihtimaller etkilenmez.
- Bağımlı (Geri Atmasız): Torbadan bir top çektin ve cebine koydun! Artık torbada 1 top eksik. Hem "Tüm Durumlar (Payda)" 1 azaldı, hem de çektiğin renkten 1 tane eksildiği için üst kat değişebilir. İkinci çekiliş, ilkine bağımlı hale geldi.
2. Ayrık Olmayan Olaylar (Kesişim Tuzağı)
Bir soruda "VEYA" kelimesini gördüğümüzde olasılıkları topladığımızı biliyoruz. Ama ya iki olayın ortak bir noktası varsa?
"Zarın 3'ten küçük VEYA çift sayı gelme olasılığı kaçtır?"
3'ten küçükler (1, 2). Çiftler (2, 4, 6). İkisini toplayıp "5 ihtimal var" dersen yanarsın! Çünkü "2" sayısını iki defa saydın.
Sözel Kafa Kuralı: İhtimalleri topla ama her iki şarta da uyan "ortak elemanları (kesişimi)" bir kez çöpe at (çıkar) ki adalet sağlansın!
3. Ağaç Diyagramı (Torbadan Torbaya)
A torbasından top çekip B torbasına atma, oradan da bir top çekme gibi zincirleme sorularda Senaryo Çizmek (Ağaç Diyagramı) hayat kurtarır.
İhtimal 1: A'dan Kırmızı çekmişimdir (B'ye Kırmızı gitmiştir) VE B'den Kırmızı çekmişimdir.
VEYA (+)
İhtimal 2: A'dan Mavi çekmişimdir (B'ye Mavi gitmiştir) VE B'den Kırmızı çekmişimdir.
Oluşan her senaryoyu kendi içinde çarpar (VE), farklı senaryoları birbiriyle toplarız (VEYA).
4. Geometrik Olasılık (Dart Tahtası)
Bazen ihtimaller sayılamayacak kadar sonsuzdur (Bir bölgeye ok atılması gibi). Bu durumda nesneleri saymak yerine ALAN hesaplarız. Olasılık kesri şuna dönüşür:
5. Soru Çözümleri (Final Bossları)
Bir torbada 4 Mavi, 5 Kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye torbaya geri atılmamak şartıyla art arda iki bilye çekiliyor.
Birinci bilyenin Mavi, ikinci bilyenin Kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
1. Çekiliş (Mavi İstiyoruz): Torbada toplam 9 bilye var, 4'ü Mavi.
1. Çekiliş Olasılığı = 4 / 9
2. Çekiliş (Kırmızı İstiyoruz): Dikkat! İlk çektiğimiz Mavi bilyeyi cebimize attık. Artık torbada 9 değil, 8 bilye kaldı (Evren daraldı). Bu 8 bilyenin 5 tanesi Kırmızı (Çünkü daha hiç kırmızı çekmedik).
2. Çekiliş Olasılığı = 5 / 8
Sonuç (VE bağlacı = Çarp): Bu iki olay peş peşe olduğu için çarpıyoruz.
(4 / 9) x (5 / 8) = 20 / 72. (Her iki tarafı 4'e bölersek) ➡ 5 / 18
52 kartlık standart bir iskambil destesinden rastgele bir kart çekiliyor.
Çekilen kartın Kırmızı renkli VEYA Papaz (K) olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Alt katımız (Tüm Evren) = 52.
A Olayı (Kırmızı Olması): Destenin yarısı kırmızıdır (Kupa ve Karo). ➡ 26 kart.
P(A) = 26 / 52
B Olayı (Papaz Olması): Destede 4 tane Papaz vardır. ➡ 4 kart.
P(B) = 4 / 52
Kesişimi Çıkar: Kesişim (Hem kırmızı hem Papaz) = 2 kart.
(26 / 52) + (4 / 52) - (2 / 52) = 28 / 52
Sadeleştirirsek (4'e böl) ➡ 7 / 13
A torbasında 3 Siyah, 2 Beyaz; B torbasında 4 Siyah, 3 Beyaz top vardır.
A torbasından rastgele bir top çekilip rengine bakılmadan B torbasına atılıyor. Ardından B torbasından bir top çekiliyor.
B'den çekilen topun Beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
A'dan ne attığımızı bilmediğimiz için 2 farklı "Film Senaryosu" yazacağız ve bunları toplayacağız.
Senaryo 1: A'dan Beyaz attık, B'den Beyaz çektik.
A'dan Beyaz çekme ihtimali: 2 / 5.
(Şimdi B'ye beyaz geldi. B'de artık 4 Siyah, 4 Beyaz oldu. Toplam 8 top).
B'den Beyaz çekme ihtimali: 4 / 8.
Senaryo 1'in gerçekleşmesi: (2/5) x (4/8) = 8 / 40.
Senaryo 2: A'dan Siyah attık, B'den Beyaz çektik.
A'dan Siyah çekme ihtimali: 3 / 5.
(Şimdi B'ye Siyah geldi. B'de artık 5 Siyah, 3 Beyaz oldu. Toplam 8 top).
B'den Beyaz çekme ihtimali: 3 / 8.
Senaryo 2'nin gerçekleşmesi: (3/5) x (3/8) = 9 / 40.
Sonuç (Senaryoları Topla):
(8 / 40) + (9 / 40) = 17 / 40
Merkezleri aynı olan iki daireden, içtekinin yarıçapı r, dıştakininki ise 2r'dir. Dıştaki büyük daireye isabet eden bir okun, içteki küçük daireye (hedefe) İSABET ETMEME olasılığı kaçtır?
Çözümü Göster
Nesne sayamadığımız için "Alan" hesaplayacağız. Dairenin Alanı = π.r²'dir.
1. Alt Kat (Tüm Alan - Bütün Tahta): Büyük dairenin yarıçapı 2r.
Tüm Alan = π.(2r)² = 4πr².
2. Üst Kat (İstenen Alan): Okun içteki küçük daireye (Alan = πr²) isabet etmemesini, yani dışarıdaki "Simit" (Halka) şeklindeki bölgeye vurmasını istiyoruz.
Simit Alanı = Tüm Alan - Küçük Daire Alanı
Simit Alanı = 4πr² - πr² = 3πr².
3. Olasılık: (İstenen Alan) / (Tüm Alan)
3πr² / 4πr² ➡ πr²'ler birbirini götürür. Cevap 3 / 4 (%75) olur.