İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 13: Bölüm 1 - Oran ve Orantı

MODÜL 13: BÖLÜM 1 - ORAN VE ORANTI ÖZELLİKLERİ

"Matematiğin Adalet Terazisi: İçler ve Dışlar!"

1. Oran ve Orantı Nedir?

Aynı birimden iki çokluğun birbirine bölünmesine Oran, iki veya daha fazla oranın birbirine eşitliğine ise Orantı denir.

Orantı Sabiti (k)
a b
=
c d
= k

Bir orantıdaki kesirlerin hepsi aynı değere (k) eşittir. Bu k sayısına orantı sabiti denir.

2. Temel Kurallar

1. İçler Dışlar Çarpımı

Bir orantıda içlerin çarpımı, dışların çarpımına eşittir. Bu, problem çözerken en çok kullanacağımız silahtır.

a b
=
c d
➡ a . d = b . c

2. "k"lama Taktiği (Değer Verme)

Orantı sorularını çözerken harfleri (a, b, vb.) orantı sabiti olan "k" cinsinden yazarız.

a 3
=
b 5
= k

➡ a = 3k ve b = 5k

3. Orantının İleri Seviye Özellikleri

Orantı Sabiti (k) Ne Zaman Değişmez?
  • Genişletme: Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarparsanız "k" değişmez.
  • Payları ve Paydaları Toplama: Tüm oranların üstlerini kendi arasında, altlarını kendi arasında toplayıp birbirine bölerseniz oran yine k çıkar!
    ab
    =
    cd
    = k ➡
    a + cb + d
    = k
  • Çarpma (Dikkat!): Eğer iki oranı birbiriyle ÇARPARSANIZ, orantı sabiti de kendisiyle çarpılır, yani k² olur!

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: İçler Dışlar Çarpımı
a + b a - b
=
5 2

olduğuna göre,

ab
oranı kaçtır?

Çözümü Göster

Hemen çapraz çarpım (İçler Dışlar) yapalım:

  • 2 . (a + b) = 5 . (a - b)
  • 2a + 2b = 5a - 5b

Harfleri kendi cinsleriyle aynı tarafa toplayalım (a'lar bir yana, b'ler bir yana):

  • 2b + 5b = 5a - 2a
  • 7b = 3a

Bu eşitlikten şu sonucu çıkarırız: Çaprazlama değer verirsek, a = 7k ve b = 3k olur.

Bizden istenen a/b oranı:

a b
=
7k 3k
=
7 3
ORTA SORU 2: K Taktiği (Değer Verme)
x 2
=
y 3
=
z 4

ve 2x + y - z = 15 olduğuna göre, y kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen eşitliklerin hepsini bir "k" sabitine eşitleyelim (k'lama taktiği):

  • x / 2 = k ➡ x = 2k
  • y / 3 = k ➡ y = 3k
  • z / 4 = k ➡ z = 4k

Bulduğumuz k'lı değerleri bize verilen asıl denklemde (2x + y - z = 15) yerlerine yazalım:

  • 2(2k) + (3k) - (4k) = 15
  • 4k + 3k - 4k = 15
  • 3k = 15 ➡ k = 5

k sabitini bulduğumuza göre, y'yi bulabiliriz:

y = 3k = 3 . 5 = 15

ORTA (ÖZELLİK) SORU 3: Kesirleri Parçalama Özelliği
ab
=
cd
=
35

olduğuna göre, (

a + bb
) . (
d - cd
) çarpımının sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Bu soruda parantez içlerindeki kesirleri paydadan ayırarak (kalp metodu) parçalayacağız:

  • Birinci Parantez:
    a + bb
    =
    ab
    +
    bb
    =
    ab
    + 1
  • İkinci Parantez:
    d - cd
    =
    dd
    -
    cd
    = 1 -
    cd

Soruda bize a/b = 3/5 ve c/d = 3/5 verilmiş. Bu değerleri yerlerine yazalım:

  • Birinci kısım: (3/5 + 1) = 8/5
  • İkinci kısım: (1 - 3/5) = 2/5

İkisini çarpalım:

85
.
25
=
1625
ZOR SORU 4: Orantı Sabitinin Karesi
xy
=
zt
=
23

olduğuna göre,

x2 + z2y2 + t2
oranının değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Orantı özelliklerinde şunu öğrenmiştik: Payları toplayıp, paydaları toplarsak orantı sabiti (k) DEĞİŞMEZ.

Ancak bu soruda payları toplamadan önce, her birinin karesini (2. kuvvetini) almışlar.

Bir orantıdaki her terimin karesini alırsanız, orantı sabiti (k) de karesini almak zorundadır!

x2y2
=
z2t2
= (
23
)2 =
49

Kareleri alındıktan sonra bu iki yeni oran kendi arasında (üstler üstlerle, altlar altlarla) toplanmış. Toplama işleminde orantı sabiti değişmezdi!

Öyleyse sonuç, yeni orantı sabitimiz olan 4/9'a eşit kalmaya devam eder.

Cevap: 4/9

ZOR (KPSS BANKOSU) SORU 5: Çoklu Orantı Eşitleme

a, b ve c pozitif sayılar olmak üzere;

ab
=
23
  ve  
bc
=
45

olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?

Çözümü Göster

İki farklı orantıda da ortak olan harf "b" dir. Bütün sistemi birleştirebilmek için her iki orantıda da "b"nin karşısındaki sayıyı AYNI yapmalıyız!

  • Birinci oranda b'nin karşısında 3 var.
  • İkinci oranda b'nin karşısında 4 var.
  • 3 ve 4 nerede birleşir? (EKOK'ları) ➡ 12'de.

Genişletme (Çarpma) yapalım:

  • 1. Oranı 4 ile çarpalım:
    ab
    =
    2 . 43 . 4
    =
    812
  • 2. Oranı 3 ile çarpalım:
    bc
    =
    4 . 35 . 3
    =
    1215

Artık her iki oranda da b'nin karşısında 12 var. Sisteme "k" verebiliriz:

a = 8k,   b = 12k,   c = 15k

Bizden (a + b + c)'nin en az olması istenmiş. Pozitif sayılar dediği için "k" yerine en küçük tam sayı olan 1'i veririz.

Toplam = 8(1) + 12(1) + 15(1) = 8 + 12 + 15 = 35

YENİ NESİL KARIŞIM SORU 6: Pasta Tarifi Formülü

Bir pastanede kek yapılırken Un, Şeker ve Yağ maddeleri karıştırılmaktadır.

  • Un miktarının, Şeker miktarına oranı
    52
    'dir.
  • Şeker miktarının, Yağ miktarına oranı
    34
    'tür.

Bu kekin toplam hamuru 870 gram olduğuna göre, karışımdaki Şeker miktarı kaç gramdır?

Çözümü Göster

Bu soru, az önceki "Çoklu Orantı" sorusunun tam olarak yeni nesil hikayeleştirilmiş halidir. Ortak olan madde Şeker'dir.

  • 1. Oran: Un / Şeker = 5 / 2
  • 2. Oran: Şeker / Yağ = 3 / 4

Şeker miktarı ilk oranda 2'nin katı, ikinci oranda 3'ün katı gibi duruyor. Bunları eşitlemek için 6'da (EKOK) birleştirelim.

  • 1. Oranı 3 ile genişlet: Un / Şeker = 15 / 6
  • 2. Oranı 2 ile genişlet: Şeker / Yağ = 6 / 8

Artık her şeye "k" diyebiliriz:

Un = 15k,   Şeker = 6k,   Yağ = 8k

Toplam karışım = 15k + 6k + 8k = 29k

29k = 870 gram verilmiş.

k = 870 / 29 ➡ k = 30

Soru bizden Şeker miktarını (6k) istemiş:

Şeker = 6 . 30 = 180 gram.