MODÜL 12: BÖLÜM 1 - ORTAK ÇARPAN PARANTEZİ
"Dağıtılmış Olanı Geri Toplama Sanatı"
1. Çarpanlara Ayırma Nedir?
Bir ifadeyi (genellikle toplama veya çıkarma halindeki karmaşık bir ifadeyi), birbirleriyle çarpım durumunda olan daha basit parçalara ayırma işlemidir. Aslında ilkokuldan beri bildiğimiz "Dağılma Özelliği"nin tam tersidir.
2. Ortak Çarpan Nasıl Bulunur?
Ortak çarpanı bulurken ifadeyi adeta bir dedektif gibi inceleriz. İki şeye bakarız: Sayılara ve Harflere.
Sayılar İçin (EBOB)
Katsayılara (sayılara) bakılır. Bu sayıların hepsini aynı anda bölebilen en büyük sayı (EBOB) dışarı çekilir.
(12 ve 18'in en büyük ortak böleni 6'dır).
Harfler İçin (En Küçük Üs)
Her terimde aynı harf (değişken) varsa, bu harflerden üssü en küçük olan parantez dışına çekilir.
(Küçük olan x³ dışarı alındı, içeride neyle çarparsam eski haline döner diye düşünüldü).
3. İşaret Tuzağı (Eksi Parantezi)
Bazen ifadeler birbirinin tamamen aynısı gibi görünür ama yerleri ve işaretleri terstir. (a - b) ile (b - a) birbirinin eksilisidir!
Bir ifadeyi eksi (-) parantezine alırsan, içerideki tüm terimlerin işareti tam tersine döner.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Hem sayılarda hem de harflerde ortak olanları bulalım:
- Sayılar: 15 ve 10. İkisini de bölen en büyük sayı 5'tir.
- Harfler: x³ ve x². İkisinde de ortak olan, üssü en küçük olandır: x²'dir.
O halde ortak çarpanımız 5x²'dir. Parantezi açıp "Neyle çarparsam eskiye döner?" diye soralım:
- 5x²'yi neyle çarparsam 15x³ yapar? ➡ 3x
- 5x²'yi neyle çarparsam -10x² yapar? ➡ -2
Cevap: 5x2(3x - 2)
ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış şekli nedir?
Çözümü Göster
Bütün parçaları dedektif gibi inceleyelim:
- Sayılar (12 ve 8): Ortak bölen 4.
- "a" harfleri (a² ve a): En küçük üslü olan a.
- "b" harfleri (b ve b²): En küçük üslü olan b.
Ortak çarpan 4ab oldu. Şimdi parantezi oluşturalım:
4ab( ? - ? )
- 4ab'yi neyle çarparsam 12a²b yapar? ➡ 3a
- 4ab'yi neyle çarparsam -8ab² yapar? ➡ -2b
Cevap: 4ab(3a - 2b)
ifadesinin çarpanları nelerdir?
Çözümü Göster
Ortak çarpan illa tek bir harf veya sayı olmak zorunda değildir. Bazen koca bir parantez (blok) ortak olabilir.
Burada her iki tarafta da (y - 3) bloğu ortaktır.
- (y - 3) parantezine alalım.
- Birinci taraftan geriye x kalır.
- İkinci taraftan geriye +z kalır.
Geriye kalanları yeni bir parantez içinde birleştiririz:
Cevap: (y - 3)(x + z)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
İlk bakışta ortak bir şey yok gibi görünüyor. Biri (x - y), diğeri (y - x). Ama bunlar ikiz kardeştir, sadece işaretleri terstir!
Kuralı hatırlayalım: (y - x) yerine -(x - y) yazabiliriz.
- İfadeyi düzenleyelim: a(x - y) + b . [-(x - y)]
- O eksi dışarıdaki b'nin önüne geçer: a(x - y) - b(x - y)
Artık her iki tarafta da (x - y) ortaktır! (x - y) parantezine alalım:
Cevap: (x - y)(a - b)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Üslü sayılar modülünde öğrendiğimiz gibi: Toplama/çıkarma varsa en küçük üssün parantezine alınır. Burada en küçük üs 3x tir.
- Üst tarafı (Pay) 3x parantezine alalım:
3x(32 - 1) ➡ (Çünkü 3x'in kendisini alınca yerinde gizli 1 kalır). - Alt tarafı (Payda) parçalayalım:
3x+1 = 3x . 3^{1}
Şimdi kesri tekrar yazalım:
Alt ve üstteki 3x'ler birbirini yok eder (sadeleşir).
Geriye (9-1) / 3 kalır.
Cevap:
Bir çiftçi boyutları (x² + 3x) metre ve (x² + x) metre olan iki farklı dikdörtgen tarlanın etrafına tel çekecektir. Çiftçi her iki tarlanın alanını hesaplıyor ve alanlar toplamını buluyor.
Eğer bu alan toplamını tek bir dikdörtgenin alanı gibi düşünseydi, bu yeni dikdörtgenin bir kenarı "x" metre olsaydı diğer kenarı kaç metre olurdu?
Çözümü Göster
Aslında soru bize bir hikaye eşliğinde "x² + 3x ile x² + x'i topla ve x parantezine al" demek istiyor.
- Alanları (ifadeleri) toplayalım: (x2 + 3x) + (x2 + x)
- Benzer terimleri birleştirelim: 2x2 + 4x
Bu toplam alan yeni bir dikdörtgenin alanıymış ve bir kenarı x imiş.
Dikdörtgenin Alanı = (Kenar 1) . (Kenar 2)
2x2 + 4x = x . ( ? )
İfadeyi "x" parantezine alırsak diğer kenarı buluruz:
x . (2x + 4)
Demek ki diğer kenar 2x + 4 metredir.
Cevap: 2x + 4
MODÜL 12: BÖLÜM 1 - ORTAK ÇARPAN PARANTEZİ
"Dağıtılmış Olanı Geri Toplama Sanatı"
1. Çarpanlara Ayırma Nedir?
Bir ifadeyi (genellikle toplama veya çıkarma halindeki karmaşık bir ifadeyi), birbirleriyle çarpım durumunda olan daha basit parçalara ayırma işlemidir. Aslında ilkokuldan beri bildiğimiz "Dağılma Özelliği"nin tam tersidir.
2. Ortak Çarpan Nasıl Bulunur?
Ortak çarpanı bulurken ifadeyi adeta bir dedektif gibi inceleriz. İki şeye bakarız: Sayılara ve Harflere.
Sayılar İçin (EBOB)
Katsayılara (sayılara) bakılır. Bu sayıların hepsini aynı anda bölebilen en büyük sayı (EBOB) dışarı çekilir.
(12 ve 18'in en büyük ortak böleni 6'dır).
Harfler İçin (En Küçük Üs)
Her terimde aynı harf (değişken) varsa, bu harflerden üssü en küçük olan parantez dışına çekilir.
(Küçük olan x³ dışarı alındı, içeride neyle çarparsam eski haline döner diye düşünüldü).
3. İşaret Tuzağı (Eksi Parantezi)
Bazen ifadeler birbirinin tamamen aynısı gibi görünür ama yerleri ve işaretleri terstir. (a - b) ile (b - a) birbirinin eksilisidir!
Bir ifadeyi eksi (-) parantezine alırsan, içerideki tüm terimlerin işareti tam tersine döner.
4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Hem sayılarda hem de harflerde ortak olanları bulalım:
- Sayılar: 15 ve 10. İkisini de bölen en büyük sayı 5'tir.
- Harfler: x³ ve x². İkisinde de ortak olan, üssü en küçük olandır: x²'dir.
O halde ortak çarpanımız 5x²'dir. Parantezi açıp "Neyle çarparsam eskiye döner?" diye soralım:
- 5x²'yi neyle çarparsam 15x³ yapar? ➡ 3x
- 5x²'yi neyle çarparsam -10x² yapar? ➡ -2
Cevap: 5x2(3x - 2)
ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış şekli nedir?
Çözümü Göster
Bütün parçaları dedektif gibi inceleyelim:
- Sayılar (12 ve 8): Ortak bölen 4.
- "a" harfleri (a² ve a): En küçük üslü olan a.
- "b" harfleri (b ve b²): En küçük üslü olan b.
Ortak çarpan 4ab oldu. Şimdi parantezi oluşturalım:
4ab( ? - ? )
- 4ab'yi neyle çarparsam 12a²b yapar? ➡ 3a
- 4ab'yi neyle çarparsam -8ab² yapar? ➡ -2b
Cevap: 4ab(3a - 2b)
ifadesinin çarpanları nelerdir?
Çözümü Göster
Ortak çarpan illa tek bir harf veya sayı olmak zorunda değildir. Bazen koca bir parantez (blok) ortak olabilir.
Burada her iki tarafta da (y - 3) bloğu ortaktır.
- (y - 3) parantezine alalım.
- Birinci taraftan geriye x kalır.
- İkinci taraftan geriye +z kalır.
Geriye kalanları yeni bir parantez içinde birleştiririz:
Cevap: (y - 3)(x + z)
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Göster
İlk bakışta ortak bir şey yok gibi görünüyor. Biri (x - y), diğeri (y - x). Ama bunlar ikiz kardeştir, sadece işaretleri terstir!
Kuralı hatırlayalım: (y - x) yerine -(x - y) yazabiliriz.
- İfadeyi düzenleyelim: a(x - y) + b . [-(x - y)]
- O eksi dışarıdaki b'nin önüne geçer: a(x - y) - b(x - y)
Artık her iki tarafta da (x - y) ortaktır! (x - y) parantezine alalım:
Cevap: (x - y)(a - b)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Üslü sayılar modülünde öğrendiğimiz gibi: Toplama/çıkarma varsa en küçük üssün parantezine alınır. Burada en küçük üs 3x tir.
- Üst tarafı (Pay) 3x parantezine alalım:
3x(32 - 1) ➡ (Çünkü 3x'in kendisini alınca yerinde gizli 1 kalır). - Alt tarafı (Payda) parçalayalım:
3x+1 = 3x . 3^{1}
Şimdi kesri tekrar yazalım:
Alt ve üstteki 3x'ler birbirini yok eder (sadeleşir).
Geriye (9-1) / 3 kalır.
Cevap:
Bir çiftçi boyutları (x² + 3x) metre ve (x² + x) metre olan iki farklı dikdörtgen tarlanın etrafına tel çekecektir. Çiftçi her iki tarlanın alanını hesaplıyor ve alanlar toplamını buluyor.
Eğer bu alan toplamını tek bir dikdörtgenin alanı gibi düşünseydi, bu yeni dikdörtgenin bir kenarı "x" metre olsaydı diğer kenarı kaç metre olurdu?
Çözümü Göster
Aslında soru bize bir hikaye eşliğinde "x² + 3x ile x² + x'i topla ve x parantezine al" demek istiyor.
- Alanları (ifadeleri) toplayalım: (x2 + 3x) + (x2 + x)
- Benzer terimleri birleştirelim: 2x2 + 4x
Bu toplam alan yeni bir dikdörtgenin alanıymış ve bir kenarı x imiş.
Dikdörtgenin Alanı = (Kenar 1) . (Kenar 2)
2x2 + 4x = x . ( ? )
İfadeyi "x" parantezine alırsak diğer kenarı buluruz:
x . (2x + 4)
Demek ki diğer kenar 2x + 4 metredir.
Cevap: 2x + 4