MODÜL 25: BÖLÜM 2 - PERMÜTASYON (SIRALAMA)
"Sıra Önemlidir! Ali ile Ayşe'nin yan yana durmasıyla, Ayşe ile Ali'nin durması aynı fotoğrafı vermez!"
1. Permütasyon Nedir?
Permütasyon sıralama, diziliş, fotoğraf çektirme, şifre oluşturma demektir. Elimizdeki nesneleri veya insanları belli bir sıraya göre dizme işlemidir. Sıra değiştiğinde anlam da değişiyorsa (Örneğin 12 şifresi ile 21 şifresi farklıdır), o soruda Permütasyon vardır.
Sıralama yaparken kullanacağımız en büyük silahımız Faktöriyel'dir. Bir sayının yanına ünlem (!) gelirse, o sayıdan geriye doğru 1'e kadar olan tüm sayıları çarparız.
Önemli Değerler:
- 0! = 1 (Özel kuraldır, ezberle!)
- 1! = 1
- 3! = 3 x 2 x 1 = 6
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Not: "5 kişi yan yana kaç farklı şekilde fotoğraf çektirir?" sorusunun cevabı direkt 5! yani 120'dir.
2. Permütasyon Formülü ve "Sözel Kafa" Kısayolu
Matematikte $n$ tane nesneden $r$ tanesini seçip sıralamanın resmi formülü şudur:
"n sayısından başla, geriye doğru r adım git ve çarp!"
- P(7, 3) kaçtır? ➡ 7'den başla, 3 adım geriye git: 7 x 6 x 5 = 210
- P(5, 2) kaçtır? ➡ 5'ten başla, 2 adım geriye git: 5 x 4 = 20
3. En Çok Sorulan Kalıplar: Yan Yana Olma / Olmama
Soruda "Ayrılmasınlar, yan yana olsunlar" diyorsa, o kişileri bir iple bağla ve 1 KİŞİ olarak say! Sonra o paketin kendi içindeki yer değiştirmesini (faktöriyelini) dışarıdaki toplamla çarp.
Soruda "Yan yana OLMASINLAR" diyorsa tek tek hesaplamak çok zordur. Şunu yap:
Hiçbir şart yokmuş gibi Tüm Durumları bul - Yan Yana Oldukları Durumu Çıkar = Cevap!
4. Soru Çözümleri
6 kişilik bir arkadaş grubu, yan yana dizilmiş 4 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
Olayımız 6 kişi arasından 4'ünü seçip belli bir sıraya (koltuklara) oturtmak. Yani P(6, 4).
Pratik Kural: 6'dan başla, 4 adım geriye git ve çarp.
6 x 5 x 4 x 3 = 360 farklı şekilde oturabilirler.
(Alternatif Çizgi Yöntemi: 1. koltuğa 6 kişiden biri, 2. koltuğa kalan 5 kişiden biri, 3. koltuğa kalan 4 kişiden biri, 4. koltuğa kalan 3 kişiden biri oturur. Çarpımları yine 360 yapar!)
3 öğretmen ve 4 öğrenci yan yana fotoğraf çektirecektir.
Öğretmenler bir arada (yan yana) olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözümü Göster
1. Adım: Öğretmenleri (Ö1, Ö2, Ö3) iple bağlıyoruz ve onları 1 dev paket (1 kişi) kabul ediyoruz.
2. Adım: Dışarıda 4 öğrenci var, 1 de "Öğretmen Paketi" var. Toplam 5 kişi oldular.
5 kişi kendi arasında 5! kadar yer değiştirir.
3. Adım: Öğretmenler paketin içinde uslu uslu durmazlar! O 3 öğretmen kendi aralarında da yer değiştirebilir (Ö2, Ö1, Ö3 gibi). Bu da 3! demektir.
Sonuç: İki durumu çarpıyoruz ➡ 5! x 3!
Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan 5 kişilik bir aile yan yana dizilecektir.
Anne ile baba yan yana OLMAMAK şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözümü Göster
Yan yana olmama sorularında taktiğimiz şuydu: Tüm Durum - Yan Yana Oldukları Durum
1. Tüm Durum: Hiçbir şart olmasaydı bu 5 kişi yan yana 5! (120) farklı şekilde dizilirdi.
2. İstenmeyen Durum (Yan yana olmaları): Anne ve Babayı 1 paket yapalım. Dışarıda 3 çocuk var, paketle birlikte 4 kişi oldular (4!). Anne-baba kendi aralarında da yer değiştirir (2!).
İstenmeyen Durum = 4! x 2! = (24 x 2) = 48.
3. Çıkarma İşlemi:
Tüm Durum (120) - Yan Yana Oldukları (48) = 72 farklı şekilde dizilebilirler.
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Çözümü Göster
Durum 1: Son Rakamın "0" Olması
__ __ 0 (Sona sadece 0 gelebilir: 1 durum)
Başa kalan 4 rakamın hepsi gelebilir. Ortaya 3 rakam kalır.
4 x 3 x 1 = 12 sayı yazılır.
Durum 2: Son Rakamın "2 veya 4" Olması
__ __ 2,4 (Sona 2 veya 4 gelebilir: 2 durum)
0 başa YAZILAMAZ! Sonda 1 rakam kullandık, 0 da başa gelemez, o zaman başa yazabileceğimiz 3 rakam kaldı.
Ortadaki basamağa geçerken artık 0'ı kullanabiliriz. (1 rakam başta, 1 rakam sonda kullanıldığı için ortaya 3 rakam kalır).
3 x 3 x 2 = 18 sayı yazılır.
Toplam: 12 + 18 = 30 farklı çift sayı yazılabilir.
MODÜL 25: BÖLÜM 2 - PERMÜTASYON (SIRALAMA)
"Sıra Önemlidir! Ali ile Ayşe'nin yan yana durmasıyla, Ayşe ile Ali'nin durması aynı fotoğrafı vermez!"
1. Permütasyon Nedir?
Permütasyon sıralama, diziliş, fotoğraf çektirme, şifre oluşturma demektir. Elimizdeki nesneleri veya insanları belli bir sıraya göre dizme işlemidir. Sıra değiştiğinde anlam da değişiyorsa (Örneğin 12 şifresi ile 21 şifresi farklıdır), o soruda Permütasyon vardır.
Sıralama yaparken kullanacağımız en büyük silahımız Faktöriyel'dir. Bir sayının yanına ünlem (!) gelirse, o sayıdan geriye doğru 1'e kadar olan tüm sayıları çarparız.
Önemli Değerler:
- 0! = 1 (Özel kuraldır, ezberle!)
- 1! = 1
- 3! = 3 x 2 x 1 = 6
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Not: "5 kişi yan yana kaç farklı şekilde fotoğraf çektirir?" sorusunun cevabı direkt 5! yani 120'dir.
2. Permütasyon Formülü ve "Sözel Kafa" Kısayolu
Matematikte $n$ tane nesneden $r$ tanesini seçip sıralamanın resmi formülü şudur:
"n sayısından başla, geriye doğru r adım git ve çarp!"
- P(7, 3) kaçtır? ➡ 7'den başla, 3 adım geriye git: 7 x 6 x 5 = 210
- P(5, 2) kaçtır? ➡ 5'ten başla, 2 adım geriye git: 5 x 4 = 20
3. En Çok Sorulan Kalıplar: Yan Yana Olma / Olmama
Soruda "Ayrılmasınlar, yan yana olsunlar" diyorsa, o kişileri bir iple bağla ve 1 KİŞİ olarak say! Sonra o paketin kendi içindeki yer değiştirmesini (faktöriyelini) dışarıdaki toplamla çarp.
Soruda "Yan yana OLMASINLAR" diyorsa tek tek hesaplamak çok zordur. Şunu yap:
Hiçbir şart yokmuş gibi Tüm Durumları bul - Yan Yana Oldukları Durumu Çıkar = Cevap!
4. Soru Çözümleri
6 kişilik bir arkadaş grubu, yan yana dizilmiş 4 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
Olayımız 6 kişi arasından 4'ünü seçip belli bir sıraya (koltuklara) oturtmak. Yani P(6, 4).
Pratik Kural: 6'dan başla, 4 adım geriye git ve çarp.
6 x 5 x 4 x 3 = 360 farklı şekilde oturabilirler.
(Alternatif Çizgi Yöntemi: 1. koltuğa 6 kişiden biri, 2. koltuğa kalan 5 kişiden biri, 3. koltuğa kalan 4 kişiden biri, 4. koltuğa kalan 3 kişiden biri oturur. Çarpımları yine 360 yapar!)
3 öğretmen ve 4 öğrenci yan yana fotoğraf çektirecektir.
Öğretmenler bir arada (yan yana) olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözümü Göster
1. Adım: Öğretmenleri (Ö1, Ö2, Ö3) iple bağlıyoruz ve onları 1 dev paket (1 kişi) kabul ediyoruz.
2. Adım: Dışarıda 4 öğrenci var, 1 de "Öğretmen Paketi" var. Toplam 5 kişi oldular.
5 kişi kendi arasında 5! kadar yer değiştirir.
3. Adım: Öğretmenler paketin içinde uslu uslu durmazlar! O 3 öğretmen kendi aralarında da yer değiştirebilir (Ö2, Ö1, Ö3 gibi). Bu da 3! demektir.
Sonuç: İki durumu çarpıyoruz ➡ 5! x 3!
Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan 5 kişilik bir aile yan yana dizilecektir.
Anne ile baba yan yana OLMAMAK şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözümü Göster
Yan yana olmama sorularında taktiğimiz şuydu: Tüm Durum - Yan Yana Oldukları Durum
1. Tüm Durum: Hiçbir şart olmasaydı bu 5 kişi yan yana 5! (120) farklı şekilde dizilirdi.
2. İstenmeyen Durum (Yan yana olmaları): Anne ve Babayı 1 paket yapalım. Dışarıda 3 çocuk var, paketle birlikte 4 kişi oldular (4!). Anne-baba kendi aralarında da yer değiştirir (2!).
İstenmeyen Durum = 4! x 2! = (24 x 2) = 48.
3. Çıkarma İşlemi:
Tüm Durum (120) - Yan Yana Oldukları (48) = 72 farklı şekilde dizilebilirler.
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Çözümü Göster
Durum 1: Son Rakamın "0" Olması
__ __ 0 (Sona sadece 0 gelebilir: 1 durum)
Başa kalan 4 rakamın hepsi gelebilir. Ortaya 3 rakam kalır.
4 x 3 x 1 = 12 sayı yazılır.
Durum 2: Son Rakamın "2 veya 4" Olması
__ __ 2,4 (Sona 2 veya 4 gelebilir: 2 durum)
0 başa YAZILAMAZ! Sonda 1 rakam kullandık, 0 da başa gelemez, o zaman başa yazabileceğimiz 3 rakam kaldı.
Ortadaki basamağa geçerken artık 0'ı kullanabiliriz. (1 rakam başta, 1 rakam sonda kullanıldığı için ortaya 3 rakam kalır).
3 x 3 x 2 = 18 sayı yazılır.
Toplam: 12 + 18 = 30 farklı çift sayı yazılabilir.