MODÜL 1: TEMEL MATEMATİK VE SAYILAR
BÖLÜM 1: Rakam, Sayı ve Sayı Kümeleri
1. Temel Tanımlar
Sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Matematik alfabesinin harfleridir.
Kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Toplam 10 adettir. En küçük rakam 0, en büyük rakam 9'dur.
Rakamların tek başına ya da çokluk belirtecek şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelerdir.
Örnek: 7 (hem rakam hem sayıdır), 1453, -2, 1/2, √3
2. Sayı Kümeleri (ÖSYM Terminolojisi)
Sorularda "x bir doğal sayı" veya "x bir tam sayı" denmesi çözümün kaderini değiştirir. Kümeleri doğru tanımak zorundayız.
-
N
Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, ... +∞}
DİKKAT: 0 bir doğal sayıdır. -
N+
Sayma Sayıları (Pozitif Doğal Sayılar): {1, 2, 3, ... +∞}
0 bu kümede yoktur. -
Z
Tam Sayılar: {-∞, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... +∞}
Z- (Negatifler), {0} (Nötr), Z+ (Pozitifler) birleşimidir. -
Q
Rasyonel Sayılar: a/b şeklinde yazılabilen sayılar (b≠0).
Örnek: 1/2, 5 (5/1), -3.2 -
R
Reel (Gerçel) Sayılar: Sayı doğrusu üzerindeki tüm sayılar.
Rasyonel ve İrrasyonel (√2, π) sayıların tamamını kapsar.
Toplamları sabit olan iki sayının;
1. Çarpımının En Büyük olması için sayılar birbirine EN YAKIN seçilir.
2. Çarpımının En Küçük olması için sayılar birbirine EN UZAK seçilir.
UYGULAMA VE ÖRNEK SORULAR
SORU 1: a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
Buna göre, 2a + 3b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: İfadeyi en büyük yapmak için katsayısı (çarpanı) büyük olan harfe, en büyük değeri vermeliyiz.
- Katsayısı büyük olan 3b'dir. b'ye en büyük rakam olan 9 verilir.
- Soru "birbirinden farklı" dediği için a'ya 9 veremeyiz. O halde a'ya 8 verilir.
İşlem: 2(8) + 3(9) = 16 + 27 = 43
SORU 2: x ve y doğal sayılardır.
x + y = 24 olduğuna göre, x . y çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Kural: Çarpımın en küçük olması için sayıların arası uzak tutulmalıdır.
Küme "Doğal Sayılar" olduğu için en küçük doğal sayı olan 0'ı kullanabiliriz.
- x = 0 seçilirse, y = 24 olur.
- Çarpım: 0 . 24 = 0
Not: Eğer "Sayma sayıları" denilseydi 1 ve 23 seçilirdi, cevap 23 olurdu. Kümeye dikkat ediniz.
SORU 3: a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
3a + 2b + c = 53
olduğuna göre, c'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: c'yi maksimize etmek için, eşitliğin diğer tarafındaki a ve b'yi minimize etmeliyiz.
- Katsayısı büyük olana (3a) en küçük değeri vermeliyiz ki toplama etkisi en az olsun. Pozitif tam sayı dediği için en az 1 verebiliriz. a = 1.
- Sayılar birbirinden farklı olmalı. b'ye 1 veremeyiz. En küçük b = 2 veririz.
- Değerleri yerine yazalım:
3(1) + 2(2) + c = 53
3 + 4 + c = 53
7 + c = 53
Sonuç: c = 53 - 7 = 46
SORU 4: a ve b tam sayılardır.
a . b = 12 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz: "Tam sayı" denildiği zaman negatif sayılar mutlaka düşünülmelidir.
Toplamın en küçük olması için negatif sayılar seçilmelidir. Negatif sayılarda, sayılar birbirinden uzak seçilirse toplam daha da küçülür (Sayı doğrusunda sola gider).
- Çarpımı 12 olan en uzak negatif tam sayılar: -1 ve -12
- Toplam: (-1) + (-12) = -13
Yanlış Yol: Pozitif düşünseydik 1+12=13 bulurduk. Ancak -13 daha küçüktür.
SORU 5: a, b ve c negatif tam sayılardır.
a . b = 24 ve b . c = 32
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Negatif sayılarda "en büyük" değer, sıfıra en yakın olandır. (Örn: -5 > -100).
Bu nedenle mutlak değerce en küçük sayıları bulmaya çalışmalıyız.
Çözüm: Ortak çarpan b üzerinden gidilmelidir. Sayıların (a, b, c) mutlak değerlerinin küçük olması için, b'yi (negatif olarak) mümkün olduğunca küçük seçip (örneğin -8), diğer sayıları da küçültmeliyiz.
24 ve 32'nin ortak bölenleri (negatif): -1, -2, -4, -8
- b = -8 seçilirse:
a = -3 (Çünkü -3 . -8 = 24)
c = -4 (Çünkü -4 . -8 = 32) - Bu durumda toplam: (-3) + (-8) + (-4) = -15
Kontrol: Eğer b = -1 seçilseydi, a = -24 ve c = -32 olurdu. Toplam -57 çıkardı (Daha küçük).
SORU 6: x bir tam sayıdır.
(2x + 12) / x ifadesi bir doğal sayıya eşittir.
Buna göre x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
Yöntem: Kesri parçalayarak (Polinom bölmesi veya Kalp Yöntemi) basitleştirelim.
2x/x + 12/x = 2 + (12/x)
Sonucun Doğal Sayı (N ≥ 0) olması için iki şart gerekir:
1. 12 sayısı x'e tam bölünmeli.
2. Çıkan sonuç ≥ 0 olmalı.
12'nin Tam Bölenleri:
Pozitifler: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 adet). Hepsi ifadeyi pozitif yapar.
Negatifler: -1, -2, -3, -4, -6, -12
Negatiflerin Kontrolü:
- x = -1 → 2 + (-12) = -10 (Doğal sayı değil ❌)
- x = -2 → 2 + (-6) = -4 (❌)
- x = -3 → 2 + (-4) = -2 (❌)
- x = -4 → 2 + (-3) = -1 (❌)
- x = -6 → 2 + (-2) = 0 (Doğal sayıdır ✅)
- x = -12 → 2 + (-1) = 1 (Doğal sayıdır ✅)
Toplam: 6 pozitif + 2 negatif = 8 farklı değer.
SORU 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinden seçilen birbirinden farklı dört rakam a, b, c, d olsun.
a + b = c + d şartını sağlayan en büyük dört basamaklı abcd sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: Sayının büyük olması için basamak değeri en yüksek olan en sola (binler basamağına) en büyük rakam verilmelidir.
- a = 8 olsun (Kümedeki en büyük).
- Sıradaki en büyük rakam 7. Acaba b = 7 olabilir mi?
8 + 7 = 15. Diğer tarafta (c+d) 15 olmalı. Kalan rakamlar {1..6}. En büyük ikili 6+5=11. 15'e ulaşamıyoruz. b=7 olamaz. - b = 6 deneyelim.
8 + 6 = 14. Kalan {1,2,3,4,5,7}. c+d=14 olmalı. Kalanlardan en büyük toplam 7+5=12. 14'e ulaşamıyoruz. b=6 olamaz. - b = 5 deneyelim.
8 + 5 = 13. Kalan {1,2,3,4,6,7}. c+d=13 olmalı. Kalanlardan 7 + 6 = 13 sağlanıyor! - Sayıyı maksimize etmek için c'ye elimizdeki en büyük kalanı veririz. c = 7, d = 6.
Sonuç: a=8, b=5, c=7, d=6 → Sayı: 8576
SORU 8: Bir n doğal sayısı için aşağıdaki işlemler tanımlanmıştır:
🔴 n : n sayısının rakamları toplamı.
Buna göre; 🔴( 🟦(48) + 12 ) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: İçteki işlemden başla. 🟦(48)
Önce 48 sayısının en büyük asal bölenini bulmalıyız.
48 = 16 x 3 = 24 x 3
Asal bölenleri: 2 ve 3. En büyüğü: 3.
Yani 🟦(48) = 3.
Adım 2: Parantez içini toparla.
İşlem şu hale geldi: 🔴( 3 + 12 ) = 🔴( 15 )
Adım 3: Dıştaki işlemi yap. 🔴(15)
🔴 sembolü rakamları toplamını ifade ediyor.
15 sayısının rakamları toplamı: 1 + 5 = 6.
Cevap: 6
MODÜL 1: TEMEL MATEMATİK VE SAYILAR
BÖLÜM 1: Rakam, Sayı ve Sayı Kümeleri
1. Temel Tanımlar
Sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Matematik alfabesinin harfleridir.
Kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Toplam 10 adettir. En küçük rakam 0, en büyük rakam 9'dur.
Rakamların tek başına ya da çokluk belirtecek şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelerdir.
Örnek: 7 (hem rakam hem sayıdır), 1453, -2, 1/2, √3
2. Sayı Kümeleri (ÖSYM Terminolojisi)
Sorularda "x bir doğal sayı" veya "x bir tam sayı" denmesi çözümün kaderini değiştirir. Kümeleri doğru tanımak zorundayız.
-
N
Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, ... +∞}
DİKKAT: 0 bir doğal sayıdır. -
N+
Sayma Sayıları (Pozitif Doğal Sayılar): {1, 2, 3, ... +∞}
0 bu kümede yoktur. -
Z
Tam Sayılar: {-∞, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... +∞}
Z- (Negatifler), {0} (Nötr), Z+ (Pozitifler) birleşimidir. -
Q
Rasyonel Sayılar: a/b şeklinde yazılabilen sayılar (b≠0).
Örnek: 1/2, 5 (5/1), -3.2 -
R
Reel (Gerçel) Sayılar: Sayı doğrusu üzerindeki tüm sayılar.
Rasyonel ve İrrasyonel (√2, π) sayıların tamamını kapsar.
Toplamları sabit olan iki sayının;
1. Çarpımının En Büyük olması için sayılar birbirine EN YAKIN seçilir.
2. Çarpımının En Küçük olması için sayılar birbirine EN UZAK seçilir.
UYGULAMA VE ÖRNEK SORULAR
SORU 1: a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
Buna göre, 2a + 3b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: İfadeyi en büyük yapmak için katsayısı (çarpanı) büyük olan harfe, en büyük değeri vermeliyiz.
- Katsayısı büyük olan 3b'dir. b'ye en büyük rakam olan 9 verilir.
- Soru "birbirinden farklı" dediği için a'ya 9 veremeyiz. O halde a'ya 8 verilir.
İşlem: 2(8) + 3(9) = 16 + 27 = 43
SORU 2: x ve y doğal sayılardır.
x + y = 24 olduğuna göre, x . y çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Kural: Çarpımın en küçük olması için sayıların arası uzak tutulmalıdır.
Küme "Doğal Sayılar" olduğu için en küçük doğal sayı olan 0'ı kullanabiliriz.
- x = 0 seçilirse, y = 24 olur.
- Çarpım: 0 . 24 = 0
Not: Eğer "Sayma sayıları" denilseydi 1 ve 23 seçilirdi, cevap 23 olurdu. Kümeye dikkat ediniz.
SORU 3: a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
3a + 2b + c = 53
olduğuna göre, c'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: c'yi maksimize etmek için, eşitliğin diğer tarafındaki a ve b'yi minimize etmeliyiz.
- Katsayısı büyük olana (3a) en küçük değeri vermeliyiz ki toplama etkisi en az olsun. Pozitif tam sayı dediği için en az 1 verebiliriz. a = 1.
- Sayılar birbirinden farklı olmalı. b'ye 1 veremeyiz. En küçük b = 2 veririz.
- Değerleri yerine yazalım:
3(1) + 2(2) + c = 53
3 + 4 + c = 53
7 + c = 53
Sonuç: c = 53 - 7 = 46
SORU 4: a ve b tam sayılardır.
a . b = 12 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Analiz: "Tam sayı" denildiği zaman negatif sayılar mutlaka düşünülmelidir.
Toplamın en küçük olması için negatif sayılar seçilmelidir. Negatif sayılarda, sayılar birbirinden uzak seçilirse toplam daha da küçülür (Sayı doğrusunda sola gider).
- Çarpımı 12 olan en uzak negatif tam sayılar: -1 ve -12
- Toplam: (-1) + (-12) = -13
Yanlış Yol: Pozitif düşünseydik 1+12=13 bulurduk. Ancak -13 daha küçüktür.
SORU 5: a, b ve c negatif tam sayılardır.
a . b = 24 ve b . c = 32
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Mantık: Negatif sayılarda "en büyük" değer, sıfıra en yakın olandır. (Örn: -5 > -100).
Bu nedenle mutlak değerce en küçük sayıları bulmaya çalışmalıyız.
Çözüm: Ortak çarpan b üzerinden gidilmelidir. Sayıların (a, b, c) mutlak değerlerinin küçük olması için, b'yi (negatif olarak) mümkün olduğunca küçük seçip (örneğin -8), diğer sayıları da küçültmeliyiz.
24 ve 32'nin ortak bölenleri (negatif): -1, -2, -4, -8
- b = -8 seçilirse:
a = -3 (Çünkü -3 . -8 = 24)
c = -4 (Çünkü -4 . -8 = 32) - Bu durumda toplam: (-3) + (-8) + (-4) = -15
Kontrol: Eğer b = -1 seçilseydi, a = -24 ve c = -32 olurdu. Toplam -57 çıkardı (Daha küçük).
SORU 6: x bir tam sayıdır.
(2x + 12) / x ifadesi bir doğal sayıya eşittir.
Buna göre x'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
Yöntem: Kesri parçalayarak (Polinom bölmesi veya Kalp Yöntemi) basitleştirelim.
2x/x + 12/x = 2 + (12/x)
Sonucun Doğal Sayı (N ≥ 0) olması için iki şart gerekir:
1. 12 sayısı x'e tam bölünmeli.
2. Çıkan sonuç ≥ 0 olmalı.
12'nin Tam Bölenleri:
Pozitifler: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 adet). Hepsi ifadeyi pozitif yapar.
Negatifler: -1, -2, -3, -4, -6, -12
Negatiflerin Kontrolü:
- x = -1 → 2 + (-12) = -10 (Doğal sayı değil ❌)
- x = -2 → 2 + (-6) = -4 (❌)
- x = -3 → 2 + (-4) = -2 (❌)
- x = -4 → 2 + (-3) = -1 (❌)
- x = -6 → 2 + (-2) = 0 (Doğal sayıdır ✅)
- x = -12 → 2 + (-1) = 1 (Doğal sayıdır ✅)
Toplam: 6 pozitif + 2 negatif = 8 farklı değer.
SORU 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinden seçilen birbirinden farklı dört rakam a, b, c, d olsun.
a + b = c + d şartını sağlayan en büyük dört basamaklı abcd sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Strateji: Sayının büyük olması için basamak değeri en yüksek olan en sola (binler basamağına) en büyük rakam verilmelidir.
- a = 8 olsun (Kümedeki en büyük).
- Sıradaki en büyük rakam 7. Acaba b = 7 olabilir mi?
8 + 7 = 15. Diğer tarafta (c+d) 15 olmalı. Kalan rakamlar {1..6}. En büyük ikili 6+5=11. 15'e ulaşamıyoruz. b=7 olamaz. - b = 6 deneyelim.
8 + 6 = 14. Kalan {1,2,3,4,5,7}. c+d=14 olmalı. Kalanlardan en büyük toplam 7+5=12. 14'e ulaşamıyoruz. b=6 olamaz. - b = 5 deneyelim.
8 + 5 = 13. Kalan {1,2,3,4,6,7}. c+d=13 olmalı. Kalanlardan 7 + 6 = 13 sağlanıyor! - Sayıyı maksimize etmek için c'ye elimizdeki en büyük kalanı veririz. c = 7, d = 6.
Sonuç: a=8, b=5, c=7, d=6 → Sayı: 8576
SORU 8: Bir n doğal sayısı için aşağıdaki işlemler tanımlanmıştır:
🔴 n : n sayısının rakamları toplamı.
Buna göre; 🔴( 🟦(48) + 12 ) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Adım 1: İçteki işlemden başla. 🟦(48)
Önce 48 sayısının en büyük asal bölenini bulmalıyız.
48 = 16 x 3 = 24 x 3
Asal bölenleri: 2 ve 3. En büyüğü: 3.
Yani 🟦(48) = 3.
Adım 2: Parantez içini toparla.
İşlem şu hale geldi: 🔴( 3 + 12 ) = 🔴( 15 )
Adım 3: Dıştaki işlemi yap. 🔴(15)
🔴 sembolü rakamları toplamını ifade ediyor.
15 sayısının rakamları toplamı: 1 + 5 = 6.
Cevap: 6