MODÜL 25: BÖLÜM 3 - TEKRARLI PERMÜTASYON
"Aynı harflerin veya nesnelerin yer değiştirmesi, yeni bir kelime oluşturmaz. Kopya fotoğrafları yırtıp atacağız!"
1. Mantığı Nedir? (İkizler Tuzağı)
Eğer elimizdeki nesnelerin bazıları birbiriyle tıpatıp aynıysa (özdeşse), bunların kendi aralarında yer değiştirmesi farklı bir diziliş YARATMAZ.
Örneğin, "A" ve "A" harflerini düşünelim. Yerlerini değiştirsek bile ortaya yine "AA" çıkar. İşte normal permütasyon yaparken hesapladığımız bu sahte (kopya) dizilişleri, bölme işlemi yaparak dışarı atmamız gerekir.
2. Kelime ve Rakam Dizilimleri
1. Adım (Üst Kat): Toplam kaç harf var? Sayıyoruz: 7 harf. Demek ki yukarısı 7! olacak.
2. Adım (Alt Kat - İkizleri Bul):
- M harfinden 2 tane var ➡ 2!
- A harfinden 3 tane var ➡ 3!
- R harfinden 2 tane var ➡ 2!
3. Adım (Böl): 7! / (2! . 3! . 2!)
3. Izgara (En Kısa Yol) Soruları
Bir şehrin dik kesişen sokaklarında A noktasından B noktasına gitmek de bir tekrarlı permütasyondur. Sadece "Sağa (S)" ve "Yukarı (Y)" giderek ilerleriz.
Örneğin A'dan B'ye gitmek için toplam 4 kez Sağa (S,S,S,S) ve 3 kez Yukarı (Y,Y,Y) gitmeniz gerekiyorsa; aslında "SSSSYYY" harflerinin kaç farklı şekilde sıralanacağını buluyorsunuz demektir.
4. Soru Çözümleri (Klasikleşmiş ÖSYM Tipleri)
"KELEBEK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Toplam harf sayımız: 7 (Bunu yukarı yazıyoruz ➡ 7!)
Tekrar eden (kopya) harfler:
- E harfinden 3 tane var (3!)
- K harfinden 2 tane var (2!)
- (L ve B'den birer tane var, 1! = 1 olduğu için yazmaya gerek yok).
İşlem: 7! / (3! x 2!)
Hesaplayalım: (7 x 6 x 5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1)
3!'ler birbirini götürür. Üst taraf = 840. Alt taraf = 2.
840 / 2 = 420 farklı kelime yazılabilir.
"KARAKOL" kelimesinin harfleriyle K ile başlayıp L ile biten kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Sorunun bir şartı varsa, o harfleri yerlerine "çivile" ve bir daha işleme sokma!
K ... ... ... ... ... L (K ve L'nin yeri garanti. Kalan harfler: A, R, A, K, O)
İçeride sıralanacak toplam 5 harf kaldı. (Üst kat = 5!)
Bu 5 harf içinde tekrar eden var mı?
Evet, A harfinden 2 tane var (Alt kat = 2!).
(Dikkat: İlk baştaki K'yi çivilediğimiz için, içeride sadece 1 tane K kaldı. Artık K'ler tekrar etmiyor!)
İşlem: 5! / 2! = 120 / 2 = 60 farklı kelime yazılır.
"220033" sayısının rakamları yer değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözümü Göster
1. Adım (Hiçbir Şart Yokmuş Gibi Hesapla):
Toplam 6 rakam var (6!). 2'ler (2!), 0'lar (2!), 3'ler (2!) tekrar ediyor.
6! / (2! . 2! . 2!) = 720 / 8 = 90 tüm durumlar.
2. Adım (Oranla Çarp):
Elimizde 6 tane rakam var, bunların 2 tanesi sıfır, 4 tanesi sıfırdan farklı. Yani bizim yazdığımız bu 90 sayının sadece 6'da 4'ü (4/6'sı) bizim işimize yarar (sıfırla başlamaz).
90 sayısını 4/6 ile çarpıyoruz:
90 x (4 / 6) = 360 / 6 = 60 farklı sayı yazılabilir.
Bir hareketli, dik kesişen sokaklardan oluşan bir ızgara üzerinde sadece Sağa ve Aşağıya gidebilmektedir. A noktasından B noktasına gitmek için toplam 4 blok Sağa, 3 blok Aşağıya inmesi gerekmektedir. Kaç farklı en kısa yol vardır?
Çözümü Göster
Aslında hareketlimiz "SSSSAAA" harflerinden oluşan 7 harfli bir kelimenin permütasyonunu yapıyor!
Toplam hareket (Harf) = 4 Sağa + 3 Aşağıya = 7 Hamle (7!)
Tekrar eden hamleler: S harfi 4 defa (4!), A harfi 3 defa (3!).
İşlem: 7! / (4! x 3!)
7 x 6 x 5 x 4! / (4! x 6) ➡ 4!'ler birbirini götürür, 6'lar birbirini götürür.
Geriye 7 x 5 = 35 farklı yol kalır.
MODÜL 25: BÖLÜM 3 - TEKRARLI PERMÜTASYON
"Aynı harflerin veya nesnelerin yer değiştirmesi, yeni bir kelime oluşturmaz. Kopya fotoğrafları yırtıp atacağız!"
1. Mantığı Nedir? (İkizler Tuzağı)
Eğer elimizdeki nesnelerin bazıları birbiriyle tıpatıp aynıysa (özdeşse), bunların kendi aralarında yer değiştirmesi farklı bir diziliş YARATMAZ.
Örneğin, "A" ve "A" harflerini düşünelim. Yerlerini değiştirsek bile ortaya yine "AA" çıkar. İşte normal permütasyon yaparken hesapladığımız bu sahte (kopya) dizilişleri, bölme işlemi yaparak dışarı atmamız gerekir.
2. Kelime ve Rakam Dizilimleri
1. Adım (Üst Kat): Toplam kaç harf var? Sayıyoruz: 7 harf. Demek ki yukarısı 7! olacak.
2. Adım (Alt Kat - İkizleri Bul):
- M harfinden 2 tane var ➡ 2!
- A harfinden 3 tane var ➡ 3!
- R harfinden 2 tane var ➡ 2!
3. Adım (Böl): 7! / (2! . 3! . 2!)
3. Izgara (En Kısa Yol) Soruları
Bir şehrin dik kesişen sokaklarında A noktasından B noktasına gitmek de bir tekrarlı permütasyondur. Sadece "Sağa (S)" ve "Yukarı (Y)" giderek ilerleriz.
Örneğin A'dan B'ye gitmek için toplam 4 kez Sağa (S,S,S,S) ve 3 kez Yukarı (Y,Y,Y) gitmeniz gerekiyorsa; aslında "SSSSYYY" harflerinin kaç farklı şekilde sıralanacağını buluyorsunuz demektir.
4. Soru Çözümleri (Klasikleşmiş ÖSYM Tipleri)
"KELEBEK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Toplam harf sayımız: 7 (Bunu yukarı yazıyoruz ➡ 7!)
Tekrar eden (kopya) harfler:
- E harfinden 3 tane var (3!)
- K harfinden 2 tane var (2!)
- (L ve B'den birer tane var, 1! = 1 olduğu için yazmaya gerek yok).
İşlem: 7! / (3! x 2!)
Hesaplayalım: (7 x 6 x 5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1)
3!'ler birbirini götürür. Üst taraf = 840. Alt taraf = 2.
840 / 2 = 420 farklı kelime yazılabilir.
"KARAKOL" kelimesinin harfleriyle K ile başlayıp L ile biten kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Sorunun bir şartı varsa, o harfleri yerlerine "çivile" ve bir daha işleme sokma!
K ... ... ... ... ... L (K ve L'nin yeri garanti. Kalan harfler: A, R, A, K, O)
İçeride sıralanacak toplam 5 harf kaldı. (Üst kat = 5!)
Bu 5 harf içinde tekrar eden var mı?
Evet, A harfinden 2 tane var (Alt kat = 2!).
(Dikkat: İlk baştaki K'yi çivilediğimiz için, içeride sadece 1 tane K kaldı. Artık K'ler tekrar etmiyor!)
İşlem: 5! / 2! = 120 / 2 = 60 farklı kelime yazılır.
"220033" sayısının rakamları yer değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözümü Göster
1. Adım (Hiçbir Şart Yokmuş Gibi Hesapla):
Toplam 6 rakam var (6!). 2'ler (2!), 0'lar (2!), 3'ler (2!) tekrar ediyor.
6! / (2! . 2! . 2!) = 720 / 8 = 90 tüm durumlar.
2. Adım (Oranla Çarp):
Elimizde 6 tane rakam var, bunların 2 tanesi sıfır, 4 tanesi sıfırdan farklı. Yani bizim yazdığımız bu 90 sayının sadece 6'da 4'ü (4/6'sı) bizim işimize yarar (sıfırla başlamaz).
90 sayısını 4/6 ile çarpıyoruz:
90 x (4 / 6) = 360 / 6 = 60 farklı sayı yazılabilir.
Bir hareketli, dik kesişen sokaklardan oluşan bir ızgara üzerinde sadece Sağa ve Aşağıya gidebilmektedir. A noktasından B noktasına gitmek için toplam 4 blok Sağa, 3 blok Aşağıya inmesi gerekmektedir. Kaç farklı en kısa yol vardır?
Çözümü Göster
Aslında hareketlimiz "SSSSAAA" harflerinden oluşan 7 harfli bir kelimenin permütasyonunu yapıyor!
Toplam hareket (Harf) = 4 Sağa + 3 Aşağıya = 7 Hamle (7!)
Tekrar eden hamleler: S harfi 4 defa (4!), A harfi 3 defa (3!).
İşlem: 7! / (4! x 3!)
7 x 6 x 5 x 4! / (4! x 6) ➡ 4!'ler birbirini götürür, 6'lar birbirini götürür.
Geriye 7 x 5 = 35 farklı yol kalır.