İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 3: Bölüm 3 - Türetilmiş Bölünebilme Kuralları

MODÜL 3: BÖLÜM 3 - TÜRETİLMİŞ BÖLÜNEBİLME KURALLARI

"Parçala ve Yönet: Büyük Sayıların Sırrı"

1. Kural: Aralarında Asal Çarpanlara Ayır

6, 12, 15, 36, 45 gibi sayılar için tek bir kural yoktur. Bu sayılar, aralarında asal iki çarpanına ayrılır ve sayı bu iki çarpana aynı anda bölünmelidir.

NEDEN ARALARINDA ASAL?
Örneğin 12'ye bölünmek için 2 ve 6'ya bakılmaz. Çünkü 2 ve 6'nın ortak böleni vardır (EBOB'ları 2'dir).
12 için 3 ve 4'e bakılır. (EBOB'ları 1, yani aralarında asaldır).
BÖLEN SAYI UYGULANACAK KURALLAR (VE)
6 ile Bölünebilme 2 ve 3
12 ile Bölünebilme 3 ve 4
15 ile Bölünebilme 3 ve 5
18 ile Bölünebilme 2 ve 9
20 ile Bölünebilme 4 ve 5
30 ile Bölünebilme 3 ve 10
36 ile Bölünebilme 4 ve 9
45 ile Bölünebilme 5 ve 9
⚠️ ÇÖZÜM SIRASI HAYAT KURTARIR!
Daima önce SON BASAMAĞI İLGİLENDİREN (Kısıtlayıcı) kurala bakılır.
Öncelik Sırası: 10 → 5 → 2 → 4 → 8
En Son Bakılacaklar: 3 → 9 (Rakamlar Toplamı)

2. Kalanlı Bölme Mantığı (Zor Sorular İçin)

Eğer bir sayı 45'e bölündüğünde 23 kalanını veriyorsa, çarpanlarına (5 ve 9) bölümünden kalanlara bakılır:
• 5 ile bölümünden kalan: 23'ü 5'e böl → Kalan 3'tür.
• 9 ile bölümünden kalan: 23'ü 9'a böl → Kalan 5'tir.

3. ÖSYM Tarzı Soru Çözümleri

SEVİYE: KOLAY (15 İLE BÖLÜM)

SORU 1: Dört basamaklı 3a2b sayısı 15 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Kuralları Belirle (3 ve 5) Önce son basamağı ilgilendiren 5 kuralına bakılır.
b rakamı 0 veya 5 olabilir.
Adım 2: Toplamın En Büyük Olması İçin b'yi mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. b = 5 olsun.
Sayımız: 3a25
Adım 3: 3 Kuralını Uygula Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı.
3 + a + 2 + 5 = 3k
10 + a = 3k
Adım 4: a Değerlerini Bul 10'a ne eklersek 3'ün katı olur? 2, 5, 8.
En büyük a değeri 8'dir.

Sonuç: a + b = 8 + 5 = 13

SEVİYE: ORTA (36 İLE BÖLÜM - TUZAK)

SORU 2: Rakamları farklı, beş basamaklı 2a53b sayısı 36 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre a kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Kurallar (4 ve 9) Önce 4 kuralı (Son iki basamak).
3b sayısı 4'ün katı olmalı: 32 veya 36 olabilir.
Yani b = 2 veya b = 6.
Adım 2: Rakamları Farklı Şartı Sayının binler basamağında 2 rakamı kullanılmış (2a5...).
Bu yüzden b = 2 olamaz!
Mecburen b = 6 seçilir. Sayımız: 2a536
Adım 3: 9 Kuralını Uygula Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı.
2 + a + 5 + 3 + 6 = 9k
16 + a = 9k
Adım 4: Kritik Nokta 16'ya ne eklersek 9'un katı (18) olur? a = 2.
Ancak soruda "Rakamları farklı" denilmişti. a = 2 olursa sayı 22536 olur ve 2 rakamı tekrar eder.

Sonuç: Matematiksel olarak a=2 bulunur ancak "rakamları farklı" şartı sağlanamaz. Bu tip bir soruda eğer şıklarda "değer yok" veya "0" varsa o işaretlenir. Bu soru, şartları kontrol etmeniz için hazırlanmış bir TUZAK sorusudur.

SEVİYE: ORTA-ZOR (KALANLI BÖLME - 45)

SORU 3: Dört basamaklı a35b sayısının 45 ile bölümünden kalan 23'tür.
Buna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Yeni Kalanları Hesapla 45 -> 5 ve 9 kuralları.
• 5 ile kalan: 23'ün 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
• 9 ile kalan: 23'ün 9 ile bölümünden kalan (2+3=5) 5'tir.
Adım 2: Önce 5 Kuralını Uygula Sayımız a35b. 5 ile bölümünden kalan 3 ise;
Son rakam (b) ya 3 ya da 8'dir.
Adım 3: 9 Kuralını Uygula (İki durum için) Kalanın 5 olması gerektiğini unutma.

Durum 1 (b=3): a+3+5+3 = a+11.
a+11 = 9k + 5 => a+6 = 9k => a = 3

Durum 2 (b=8): a+3+5+8 = a+16.
a+16 = 9k + 5 => a+11 = 9k => a+2 = 9k => a = 7

Sonuç: a değerleri toplamı: 3 + 7 = 10

SEVİYE: ZOR (12 İLE BÖLÜM - ÇOKLU İHTİMAL)

SORU 4: 5a3b sayısı 12 ile bölündüğünde 7 kalanını vermektedir.
Buna göre a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Yeni Kalanları Bul (12 -> 3 ve 4) • 4 ile kalan: 7'nin 4 ile bölümünden kalan 3'tür.
• 3 ile kalan: 7'nin 3 ile bölümünden kalan 1'dir.
Adım 2: 4 Kuralını Uygula (Kalan 3) Son iki basamak (3b), 4'e bölününce 3 kalanını vermeli.
30/4 (Kalan 2) - Olmaz
31/4 (Kalan 3) - b=1 ✅
35/4 (Kalan 3) - b=5 ✅
39/4 (Kalan 3) - b=9 ✅
Adım 3: 3 Kuralını Uygula (Kalan 1) Rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı. En büyük a'yı arıyoruz.

• b = 9 için (Sayı 5a39):
5+a+3+9 = a+17. (a+17)'nin 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı.
a+17 = 3k+1 → a+16 = 3k → a=2, 5, 8.

• b = 5 için (Sayı 5a35):
5+a+3+5 = a+13. (a+13)'ün 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı.
a+13 = 3k+1 → a+12 = 3k. (12 tam bölünür, a da 3'ün katı olmalı).
a = 0, 3, 6, 9.

• b = 1 için (Sayı 5a31):
5+a+3+1 = a+9. a+9'un 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı.
a+9 = 3k+1 → a+8 = 3k → a=1, 4, 7.
Adım 4: Karşılaştırma b=9 iken a en çok 8 oldu.
b=5 iken a en çok 9 oldu.

Sonuç: a'nın alabileceği en büyük değer 9'dur.

SEVİYE: ÇOK ZOR (30 İLE BÖLÜM)

SORU 5: Beş basamaklı A432B sayısı 30 ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkı kaçtır?

Çözümü Göster
Adım 1: Kurallar (3 ve 10) 30 ile bölünüyorsa 10'a tam bölünür.
Son rakam kesinlikle B = 0'dır.
Adım 2: 3 Kuralı Sayımız: A4320.
A + 4 + 3 + 2 + 0 = 3k
A + 9 = 3k
A = 3, 6, 9. (A, 5 basamaklı sayının başı olduğu için 0 olamaz).
Adım 3: Hesaplama • En büyük A+B = 9 + 0 = 9.
• En küçük A+B = 3 + 0 = 3.
• Fark = 9 - 3 = 6.

Sonuç: 6

SEVİYE: YENİ NESİL (MANTIK)

SORU 6: Bir mağaza, tanesi 45 TL olan gömleklerden belirli bir miktar alıyor ve toplam 2a7b TL ödüyor.
Mağaza sahibi "Toplamda tek sayıda gömlek aldım" dediğine göre, kaç gömlek almıştır?

Çözümü Göster
Adım 1: Problemi Analiz Et Toplam tutar 45'in katı olmalı (2a7b sayısı 45'e tam bölünmeli).
Ayrıca "Tek sayıda gömlek" alındıysa:
Tutar = 45 x (Tek Sayı) = Tek Sayı olmalıdır.
Adım 2: 45 Kuralı (5 ve 9) Önce 5 kuralı: Sayı tek olmalı.
b = 0 veya 5 olabilir. Tek olması için b = 5 olmalı.
Adım 3: 9 Kuralı Sayımız 2a75.
2 + a + 7 + 5 = 9k
14 + a = 9k
14'ten sonraki 9'un katı 18'dir. a = 4.
Adım 4: Gömlek Sayısı Toplam Tutar: 2475 TL.
Gömlek Sayısı = 2475 / 45

Sonuç: 55 gömlek alınmıştır.