İçereği Atla
KPSS Matematik | Modül 15: Bölüm 4 - Zıplayan Top Problemleri

MODÜL 15: BÖLÜM 4 - ZIPLAYAN TOP PROBLEMLERİ

"Her Düşüşün Bir Çıkışı Vardır, Ama Biraz Daha Alçaktan!"

1. Temel Zıplama Mantığı ve Formülü

Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, her yere vuruşunda bir önceki yüksekliğinin sabit bir kesri kadar yukarı zıplar. Bu aslında basit bir sürekli çarpma işlemidir.

Son Yükseklik Formülü
Son Yükseklik = İlk Yükseklik . (Zıplama Kesri)n

Buradaki "n", topun yere kaç defa vurduğunu (veya zıpladığını) gösterir.

2. Değer Verme (Sözel Kafa) Taktiği

Eğer topun ilk bırakıldığı yükseklik verilmemişse, Bölüm 1'de öğrendiğimiz "Paydaların Ortak Katı" taktiğini kullanacağız. Ancak burada top art arda zıpladığı için paydanın kuvvetini alacağız!

Tersine Mühendislik (Kuvvet Alma)

Eğer top her defasında yüksekliğinin

23
'ü kadar zıplıyorsa ve bize 3. zıplama soruluyorsa;

İlk yüksekliğe "x" veya "100" demek yerine; paydadaki 3'ün 3. kuvvetini alırız: 33 = 27

İlk Yüksekliğe 27x Diyeceğiz!

(Böylece 1. zıplamada 18x, 2. zıplamada 12x, 3. zıplamada 8x diyerek kesirlerden tamamen kurtuluruz!)

3. En Tehlikeli Tuzak: Toplam Yol

🚨 GİDİŞ VE DÖNÜŞ BİLETİ!

Eğer soru "Topun durana kadar (veya belli bir süreye kadar) aldığı toplam yol"u soruyorsa dikkat!

  • Top ilk bırakıldığında sadece aşağı düşer.
  • Ancak ondan sonraki her zıplamada top ÖNCE YUKARI ÇIKAR, SONRA TEKRAR AŞAĞI DÜŞER.
  • Yani zıplama yüksekliklerini 2 ile çarpmayı asla unutmamalısın!

4. Soru Çözümleri (Kolaydan Zora)

KOLAY SORU 1: Klasik Formül Uygulaması

Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere her vuruşunda bir önceki yüksekliğinin

12
'si kadar zıplamaktadır.

80 cm yükseklikten bırakılan bu top, 3. kez yere vurduktan sonra kaç cm yükselir?

Çözümü Göster

Başlangıç yüksekliğimiz belli: 80 cm. Zıplama oranımız: 1/2. Zıplama sayımız: 3.

Adım adım gidelim:

  • Bırakıldı: 80 cm
  • 1. Vuruş sonrası zıplama: 80'in 1/2'si = 40 cm
  • 2. Vuruş sonrası zıplama: 40'ın 1/2'si = 20 cm
  • 3. Vuruş sonrası zıplama: 20'nin 1/2'si = 10 cm

İsterseniz formülle de yapabilirsiniz:

Yükseklik = 80 . (
12
)3 = 80 .
18
= 10

Cevap: 10 cm

ORTA SORU 2: Parçadan Bütüne (Tersine Gitme)

Bir top yere düştüğünde bir önceki yüksekliğinin

25
'i kadar yükselmektedir.

Bu top 2. kez zıpladığında 16 cm yükseldiğine göre, başlangıçta kaç cm yükseklikten bırakılmıştır?

Çözümü Göster

İlk yüksekliği bilmediğimiz için ona h diyelim.

Formülümüzü uygulayalım: (İlk Yükseklik) . (Zıplama Oranı)n = (Son Yükseklik)

h . (
25
)2 = 16

Kareyi alalım:

h .
425
= 16

Karşıdaki 16 ile paydaki 4'ü sadeleştirelim (4 kalır). İçler dışlar çarpımı yapalım:

h = 4 . 25 = 100

Cevap: Başlangıç yüksekliği 100 cm'dir.

ORTA (SÖZEL KAFA TAKTİĞİ) SORU 3: Kesirlerden Kurtulma

Bir top, bırakıldığı yüksekliğin

13
'ü kadar zıplamaktadır.

Top 3. kez yere vurduktan sonra 2 cm yükseldiğine göre, ilk bırakıldığı yükseklik kaç cm'dir?

Çözümü Göster

Formül kullanmak yerine Sözel Kafa taktiğimizi (Kuvvet Alma) uygulayalım. Kesirlerle boğuşmayalım.

  • Paydamız 3. Toplam 3 kez zıplıyor.
  • İlk yüksekliğe 33 = 27x diyelim!

Şimdi sırayla zıplatalım (Her seferinde 3'e böleceğiz):

  • İlk Bırakıldı: 27x
  • 1. Zıplama: 27x / 3 = 9x
  • 2. Zıplama: 9x / 3 = 3x
  • 3. Zıplama: 3x / 3 = x

3. zıplamanın sonucunun (yani x'in) 2 cm olduğu soruda verilmiş.
O halde x = 2'dir.

Bizden İlk Yükseklik (27x) isteniyor:

İlk Yükseklik = 27 . 2 = 54 cm.

ZOR (TOPLAM YOL TUZAĞI) SORU 4: Çıkışı ve İnişi Unutma

27 metre yükseklikten bırakılan elastik bir top, yere her vuruşunda düştüğü yüksekliğin

13
'ü kadar zıplamaktadır.

Buna göre, top 3. kez yere değdiği ana kadar dikeyde toplam kaç metre yol almıştır?

Çözümü Göster
DİKKAT! Zıplamalarda top hem yukarı çıkar hem aşağı iner. İkisini de toplayacağız!

Adım adım topun hareketini izleyelim:

  • BAŞLANGIÇ: Top 27 metreden bırakıldı. Yere düştü.
    Alınan Yol = 27 m. (1. Kez Yere Değdi)
  • 1. ZIPLAMA: 27'nin 1/3'ü = 9 metre yukarı çıkar. Sonra o 9 metreyi tekrar aşağı düşer.
    Alınan Yol = 9 m (çıkış) + 9 m (düşüş) = 18 m. (2. Kez Yere Değdi)
  • 2. ZIPLAMA: 9'un 1/3'ü = 3 metre yukarı çıkar. Sonra o 3 metreyi tekrar aşağı düşer.
    Alınan Yol = 3 m (çıkış) + 3 m (düşüş) = 6 m. (3. Kez Yere Değdi)

3. kez yere değdiğinde süreci durduruyoruz. Aldığı tüm yolları toplayalım:

Toplam Yol = 27 + 18 + 6 = 51 metre.

ZOR (DENKLEMLİ) SORU 5: Yükseklik Farkı

Bir top, bırakıldığı yüksekliğin

34
'ü kadar zıplamaktadır. Top 2. kez yere vurduktan sonra ulaştığı maksimum yükseklik ile, ilk bırakıldığı yükseklik arasındaki fark 35 cm'dir.

Buna göre, topun ilk bırakıldığı yükseklik kaç cm'dir?

Çözümü Göster

Taktiğimizi uygulayalım. Payda 4, zıplama sayısı 2.

İlk yüksekliğe 42 = 16x diyelim.

  • İlk Bırakıldığı Yükseklik: 16x
  • 1. Zıplama: 16x'in 3/4'ü = 12x
  • 2. Zıplama: 12x'in 3/4'ü = 9x

Soru bize diyor ki: İlk bırakıldığı yükseklik (16x) ile 2. zıplama yüksekliği (9x) arasındaki fark 35 cm'dir.

16x - 9x = 35

7x = 35 ➡ x = 5

Soru bizden İlk Yüksekliği (16x) istiyor:

İlk Yükseklik = 16 . 5 = 80 cm.

YENİ NESİL (OKUDUĞUNU ANLAMA) SORU 6: Akıllı Topun Enerji Kaybı

Kinetik enerji ölçümü yapan "Akıllı" bir top, sert bir zemine bırakıldığında her vuruşunda kinetik enerjisinin bir kısmını kaybettiği için bir önceki yüksekliğinin

14
'ü KADARINI KAYBEDEREK zıplamaktadır.

Bu akıllı top 3. kez zıpladığında içindeki sensörler yüksekliği 54 cm olarak kaydettiğine göre, topun ilk bırakıldığı yükseklik kaç cm'dir?

Çözümü Göster
KELİME OYUNUNA DİKKAT! Top yüksekliğinin 1/4'ü KADAR zıplamıyor. 1/4'ünü KAYBEDİYOR!
Bu demek oluyor ki, 1 tamdan 1/4'ü çıkarırsak, top her defasında yüksekliğinin 3/4'ü kadar zıplar.

Gerisi az önceki sorularla aynı mantık. Formülümüzü yazalım:

h . (
34
)3 = 54

Küpünü alalım:

h .
2764
= 54

Karşıdaki 54 ile paydaki 27'yi sadeleştirirsek, karşıda 2 kalır.

h64
= 2

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

h = 64 . 2 = 128 cm.